幾何視角下的張量

作者：由慘綠愁紅發表于寵物時間：2022-04-19

上篇以淺顯的講法介紹了張量及其性質，故曰“初探”。本篇試圖從

幾何

的角度審視之，並試圖初步回答上篇的遺留問題——何為“

協變

”，何為“

逆變

”。同樣地，這裡不會追求嚴格的數學表達。

或許因發自內心的本性，人類總想了解身處的時空。那麼，我們不禁要問：何為時空？

非常粗糙地說，時空就是一堆點集（構成拓撲空間），或曰

流形

（manifold）

［1］

，區域性看起來像歐氏空間

$\mathbb{R}^n$

［2］

。

假想時空中每個點都有一位“

觀察者

”（不妨簡稱為“觀者”），他們手裡都拿著一個“

標準鍾

”，這樣，在四維時空中，就會在時空流形裡描出許許多多根“

世界線

”，這些曲線的引數在這個語境下就是他們的“

固有時

”

$\tau$

，因而

$\gamma(\tau)$

可以描寫這些曲線。一般地，某位觀者的世界線可以表為

$\gamma(\lambda)$

［3］

，其中

$\lambda$

是它的

引數

。

有了時空的概念，我們就可以在這上面構造更多的東西。

我們可以談論時空上的函式，為方便起見，不妨假定它們都是足夠光滑的（比如滿足

$C^\infty$

）

［4］

。

具體地，我們可以關注曲線運動時函式的變化。

例1

設存在一條曲線

$\gamma(\lambda)$

，其上的函式

沿著它的變化是

$\frac{\partial f}{\partial \lambda}.$

類似地，若有另一條曲線

$\gamma$

，其上的函式

沿著它的變化就是

$\frac{\partial f}{\partial \lambda$

從這個具體的例子中，如圖1，我們可以抽象出某點處（如

點處）的

切向量

的概念：

$\frac{\partial}{\partial \lambda}$

，可以用它來求方向導數。這就很像在微積分中提到的，沿著某向量（如

$\vec v$

），函式

的方向導數：

$\nabla_{\vec v}f=\vec v \cdot \nabla f.$

注

：需要指出的是，這些“抽象的”切向量構成一個集合，可以透過最自然的方式定義每個切向量的加法和數乘（當然包括零元），這樣這個集合就形成了線性空間，我們稱之（某點處的）“

切空間

（tangent space）”

［5］

。

圖1：切向量

讓我們把目光回到時空中的某個點上。

對於時空中的任意一個點（如

點），都可以選一個

區域性座標系

（local coordinate system）

$x^\mu.$

座標系可給出座標線，座標線又可以給出

個向量

$\frac{\partial}{\partial x^\mu} \equiv \partial_\mu$

，它們形成了那一個點處切空間的

基底

（basis），這意味著其上的切向量

（幾何實體）可以由它們線性表出：

$X=X^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}=X^\mu \partial_\mu.$

注

：從上面的表達不難看出，切向量

是一個運算元，最自然地，它可以作用於光滑函式

：

$X(f)=X^\mu \partial_\mu(f),$

類似於對

求方向導數。

如剛剛所說，切向量

是實實在在的，理應不隨所選擇的座標系的變化而變。既然如此，我們可以隨意更換座標系（如圖2）。

圖2：更換區域性座標系

將某點附近的座標系作變換：

$x^\nu \to \tilde x^\mu$

，則相應的基底成為

$\frac{\partial}{\partial \tilde x^\mu},$

它與原基底

$\frac{\partial}{\partial x^\nu}$

是透過一個線性變換相連的：

$\frac{\partial}{\partial \tilde x^\mu}=\frac{\partial x^\nu}{\partial \tilde x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu},$

其中

$\frac{\partial x^\nu}{\partial \tilde x^\mu}$

就是一個

Jacobi矩陣

［6］

。

類似地，我們當然可以讓實在的切矢

在

$\frac{\partial}{\partial \tilde x^\mu}$

下展開，結合它在原基底的展開，可以得到

$X=X^\nu\frac{\partial}{\partial x^\nu} =\tilde X^\mu\frac{\partial}{\partial \tilde x^\mu}$

$\Longrightarrow \tilde X^\mu=\frac{\partial \tilde x^\mu}{\partial x^\nu}X^\nu,$

在這裡，我們透過線性變換認識了兩切向量的關聯，正因所示的這種變換，

被稱為“

逆變向量

”。

類似地，有“

協變向量

”

$\xi=\xi_\mu dx^\mu,$

其中

$dx^\mu$

是它的基底。

我們說它是協變的，是因為作基底變換

$dx^\nu \to d\tilde x^\mu$

後，有

$\xi=\xi_\nu dx^\nu= \tilde \xi_\mu d \tilde x^\mu \Longrightarrow \tilde \xi_\mu=\frac{dx^\nu}{d \tilde x^\mu} \xi_\nu.$

最後，我們來看最一般的情況，將向量推廣成

張量

（直觀上看無非是多加了許多上標和下標）。

如前述，張量也是幾何實體。設時空（流形）上存在一個

型

混合張量

，那麼

$T={T^{\mu_1\cdots\mu_m}}_{\nu_1 \cdots \nu_n} \partial _{\mu_1}\otimes\cdots \otimes \partial _{\mu_m} \otimes dx^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\nu_n}.$

其中

${T^{\mu_1\cdots\mu_m}}_{\nu_1 \cdots \nu_n}$

是張量

的分量，後面的都是基底。而“

$\otimes$

”代表“張量積”。

此篇文章主要參考B站的

此影片

［7］

。

參考

直譯是“多覆蓋”，有點像魚鱗佈滿魚身的場景。中譯名取自文天祥的名句“天地有正氣，雜然賦流形”。

嚴格的定義見於Wald的General Relativity或梁燦彬先生的《微分幾何入門與廣義相對論》。

當然它是類時的（time-like），對此不熟悉的讀者不妨看看幾何語言的狹義相對論。

對於這點，學數學的朋友應該感到相見如故。

追求數學嚴格的讀者可參閱上面提到的兩本書。

這在多元微積分中早已見蹤影。

^https：//www。bilibili。com/video/BV1QA4y1X7Xk？share_source=copy_web

標簽：向量基底時空座標系張量

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