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度規到底是什麼啊?

作者：由 尋風 發表于 書法時間：2021-10-03

一個對稱、非退化的二階協變（也就是

0,2

型）張量，滿足這個的張量

g_{ab}

都可以當成度規

因為是張量，還可以定義成雙線性對映

廣相中用的是其中一類特殊的：號差為

+2

的洛倫茲度規

（物理上再加上由場方程生成的能動張量滿足能量條件，不過很多時候不是特別要求這個）

不同點度規分量不同的話計算線長就得老老實實的積分算：

設至少為

C_{1}

的某曲線引數方程在某座標系下為

x^{\mu}=x^{\mu}\left( t\right)

，

則其介於

t_{1}

和

t_{2}

之間的長度就是

l=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\left| g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt} \frac{dx^{\nu}}{dt}\right|}dt

舉個簡單例子，平直空間在極座標系下計算半徑為

r

的圓周長：

圓的方程為

r=r

，取

\varphi

為引數，結合極座標下歐式度規

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\varphi^{2}

得

l=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left|\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2}+r^{2}\left( \frac{d\varphi}{d\varphi} \right)^{2}\right|}d\varphi=\int_{0}^{2\pi}rd\varphi=2\pi r

標簽： 張量  度規  方程  座標系  引數 

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