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關於滲流理論（七）

作者：由 sola 發表于繪畫時間：2019-07-14

今天我們介紹另一種遞增事件的估計不等式：

BK不等式

FKG不等式雖然很直觀地展現出了遞增事件所具有的性質及關係，但是在實際應用中有時其不能提供給我們需要的不等式方向。

BK不等式事實上出發於此，其意在尋找一種關於遞增事件

的複合變換

$A\circ B$

，使得

$P_p(A\circ B)\leq P_p(A)P_p(B)$

在滲流模型中成立。

一個可行的構造如下：

定義 #FormatImgID_4# 為事件“ #FormatImgID_5# 不交地發生”。具體地來說，當邊組態 #FormatImgID_6# 確定（即已經有一次具體實現後），且邊組態中的開邊集合可以分成兩個不交的子集，使得 #FormatImgID_7# 在其中一個子集上發生且 #FormatImgID_8# 在另一個子集上發生，則我們稱事件 #FormatImgID_9# 發生

。

用嚴謹的數學語言表示，對於邊組態

$\omega=(\omega(e_1),\omega(e_2),...)$

，用

$K(\omega)$

表示邊組態中值為

的邊組成的集合。若總是存在一種

$K(\omega)$

的劃分

$H,K(\omega)-H$

，使得滿足

$K(\omega^{$

的邊組態

$\omega^{$

且滿足

$K(\omega^{$

的邊組態

$\omega^{$

，那麼我們就有

$\omega\in A\circ B$

。

事實上，我們不必拘泥於嚴格的數學表示。直觀上的理解往往更加重要。

如果我們取

為立方格的一個有限子圖，定義事件

為

“在圖 #FormatImgID_22# 中存在從 #FormatImgID_23# 到 #FormatImgID_24# 的開路徑（且路徑全部在 #FormatImgID_25# 中）”

。顯然其為一個遞增事件。

那麼

$A_G(x,y)\circ A_G(u,v)$

就表示了事件

“在圖 #FormatImgID_27# 中存在從

到

的開路徑與從

到

的開路徑且這兩條開路徑是邊不交的

”。

我們的直覺告訴我們：

$P_p(A_G(x,y)\circ A_G(u,v)|A_G(u,v))\leq P_p(A_G(x,y))$

這是由於：

$A_G(x,y)\circ A_G(u,v)$

中包含了

兩條路徑邊不交的限制，故一條已經給定了的 #FormatImgID_34# 到 #FormatImgID_35# 的開路徑為我們尋找一條新的從 #FormatImgID_36# 到 #FormatImgID_37# 的與之前路徑無公共邊的開路徑帶來了阻礙

。

化簡一下，立馬得到：

$P_p(A_G(x,y)\circ A_G(u,v))\leq P_p(A_G(x,y))P_p(A_G(u,v))$

目標完美完成！

對於BK不等式的證明我認為有些繁瑣且並沒有很大的借鑑價值，故不在此詳細敘述，只是給出我們將會利用到的結論且簡述其

思想

：

#FormatImgID_39# 為遞增事件且都僅依賴於有限多條邊的狀態，則有 #FormatImgID_40# 成立

。

其證明的思想是：將

之間的相關性儘可能削弱以達到估計的目的。

泛泛地而言：我們將立方格中每條邊都用

條邊來代替（

為一個充分大的常數）。例如：原本的邊

在新圖中會變成

這

條邊（其端點均與原邊相同）。那麼我們可以

將事件 #FormatImgID_47# 均攤到這 #FormatImgID_48# 條邊上來稀釋兩個事件中邊與邊之間的依賴性從而逼近 #FormatImgID_49# 獨立的情況

。

這一步可能有些難以理解，我們不妨想象以下情形：我們將

分配給事件

來使用，而

分配給事件

來使用。這樣原本立方格中

可能需要共同依賴的一條邊現在被分開使用了，也就意味著

相互獨立了！故在新圖中

那麼，這樣的將一條邊換成兩條相同邊的操作

對於 #FormatImgID_57# 是否有影響

呢？

答案是：

是不會使其降低的

。

因為

$A\circ B$

意味著他們“不交地發生”，而加入新的邊毫無疑問

利於他們不交地發生

！

故我們可以得到BK不等式的結果。

關於BK不等式的推廣，我們不難發現

$\circ$

運算具有結合律，故推廣到多個事件的BK不等式：

$P_p(A_1\circ...\circ A_n)\leq P_p(A_1)...P_p(A_n)$

，其中

均為遞增事件且僅依賴於有限多條邊的狀態。

最後再舉一例說明其應用：

考慮

$\pi_1,...,\pi_k$

，其中每一個集合都包含

有限條路徑

作為元素，

表示事件“

$\pi_i$

中存在開路徑”，顯然為

遞增

事件，且

僅依賴於有限多條邊的狀態

。（路徑的邊數有限）

那麼

$A_1\circ...\circ A_k$

意味著

#FormatImgID_66# 為開路徑，且 #FormatImgID_67# 兩兩邊不交

意味著

#FormatImgID_69# 為開路徑

那麼

$P_p(A_1\circ ...\circ A_k)\leq P_p(A_1)...P_p(A_k)\leq P_p(A_1...A_k)$

就是一個簡單的估計啦！

（FKG & BK）

標簽： FormatImgID 路徑事件不等式 bk

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