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連續函式f(x)在[a,b]上有界能否這樣證明?

作者：由 allen 發表于繪畫時間：2021-12-22

sumeragi6932021-12-22 12:14:59

整理一下你的思路。

任取一個實數

，且滿足

$G>\max\left\{ f(a),f(b) \right\}$

，並將其固定。

由於

在

上無界，所以

$\forall\varepsilon>0,\exists x_0\in[a,b]$

，使得

$|f(x_0)|>G+\varepsilon$

又因為

在

處連續，所以對於上面的

$\varepsilon,\exists\delta>0$

，當

$|x-x_0|<\delta$

時，

$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$

而根據三角不等式，

因此當

$|x-x_0|<\delta$

時，有

$G+\varepsilon<|f(x_0)|<|f(x)|+\varepsilon$

，即

直到這裡都是沒問題的，然而，你要注意你給的

決定了

的位置，當

變化時

也跟著變。那麼你最後寫的

$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=\infty$

就不成立了，因為你連趨於哪個點，你連在求哪個位置的極限你都不知道。

一夜秋風起2021-12-22 20:18:03

事實上，可以將條件減弱：只要

在

上處處都存在極限（本質用到的是f在這個閉區間上區域性有界），那麼就能推出

在

上有界。這也是一個經典問題了，只要熟悉基本的實數理論就可以證出。下面給出三個證明：

方法一 Heine-Borel 定理（有限覆蓋定理）

對任意的

$x_0\in[a,b]$

，因為

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$

存在，所以存在

$\delta_{x_0}>0$

和

$M_{x_0}>0$

，使得對任意的

滿足

$x\in(x_0-\delta_{x_0},x_0+\delta_{x_0})\cap[a,b]$

，都有

$|f(x)|<M_{{x_0}}$

成立（

為什麼？

）。

對每個

$x\in[a,b]$

，記

$\mathcal O_x:=(x-\delta_x,x+\delta_x)$

，則

$\bigcup_{x\in[a,b]}\mathcal O_x$

是

的一個開覆蓋。

根據有限覆蓋定理，存在正整數

和

$x_1,x_2,\dots,x_N\in[a,b]$

，使得

$[a,b]\subset\bigcup_{i=1}^N\mathcal O_{x_i}$

。

記

$M=\max_{1\leq i\leq N} M_{x_i}$

，則對任意的

$x\in[a,b]$

，都有

$|f(x)|\leq M$

成立，所以

在

上有界。

方法二閉區間套定理

用反證法。假設

在

上無界，記

$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}$

。則

必定在

的某個半區間

或

上無界，記這個半區間為

。

重複此過程，我們可以得到閉區間列

$\{[a_n,b_n]\}$

，對任意的正整數

，滿足

在

上無界，且

$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]$

，

$b_n-a_n=\dfrac{b_1-a_1}{2^{n-1}}\to 0\ (n\to+\infty)$

。

由閉區間套定理，存在實數

$\xi\in[a,b]$

，使得

$\{\xi\}=\bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]$

。

因為

$\lim\limits_{x\to+\xi} f(x)$

存在，所以存在

$\delta>0$

使得

在

$(\xi-\delta,\xi+\delta)$

上有界，但同時也存在正整數

使得

$[a_k,b_k]\subset(\xi-\delta,\xi+\delta)$

，矛盾。

方法三 Bolzano-Weierstrass 定理（緻密性定理/凝聚定理）

用反證法。假設

在

上無界，

則存在

$x_1\in[a,b]$

，使得

；

存在

$x_2\in[a,b]$

，使得

，且

$x_2\neq x_1$

；

……

存在

$x_n\in[a,b]$

，使得

$|f(x_n)|>n\ (n\in \mathbb Z_+)$

，且

$x_n\neq x_{n-1}$

。（

為什麼要這樣取？

）

因為

$\{x_n\}$

是有界數列，所以其存在收斂子列

$\{x_{n_k}\}$

，記

$\lim\limits_{k\to+\infty} x_{n_k}=\eta\in[a,b]$

。

因為

$\lim_{x\to\xi}f(x)$

存在，由 Heine 原理，

$\lim_{k\to+\infty} f(x_{n_k})$

也應該存在，但

$|f(x_{n_k})|>n$

，矛盾。

晴天2021-12-23 00:35:30

我感覺並沒什麼錯誤

標簽：定理無界存在使得有界

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