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直角座標、極座標和球座標下的多重積分

作者：由 光能豐 發表于 繪畫時間：2017-02-28

多重積分

是一重積分的推廣，運用多重積分，可以解決許多物理問題，典型的問題是求解不均勻二維薄板、不均勻三維幾何體的質量。

一重積分的

積分割槽域

其實是實軸上的一條線段，

二重積分

則是面積、三重積分則是體積。二重積分既可以在

直角座標系

下求解，也可以在極座標系下求解。三重積分既可以在直角座標系下求解，也可以在球座標系下求解。

二重積分

的定義如下：

二元函式

f(x,y)

是有界閉區域

D

上的

有界函式

，將閉區域

D

任意分成

n

個小閉區域

\triangle \sigma _i

，每個區域上任取一點

(\xi_i,\eta_i)

，如果當各小閉區域的直徑中最大值

d

趨於0時，極限

\lim_{d \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i) \triangle \sigma_i

存在，則稱此極限為二元函式在

D

上的二重積分，記為

\iint _D f(x,y) d\sigma

。

三重積分

的定義以此類推。

在

直角座標系

下，二重積分的

面積元

又可以記為

d\sigma=dxdy

在

極座標系

下，二重積分的面積元記為

d\sigma = \rho d\rho d\theta

，在初學的時候，容易把這個表示式寫漏前面的

\rho

。這個表示式是可以被推匯出來的，

可採用面積微元法推導或者利用雅克比行列式推導得到

，簡述如下：

面積微元法

：在極座標系下作兩條射線

\rho ,\rho+\triangle \rho

，和兩條弧線

\theta ,\theta+\triangle\theta

，四條線會交出一個面積微元。利用扇形

面積公式

，以及捨去高階小量，可以得到

\triangle \sigma \sim \rho \triangle \rho \triangle \theta

。

雅克比行列式

：設

f(x,y)

在

xOy

平面上閉區域

D

上連續，變換

T:x=x(u,v),y=y(u,v)

將

uOv

上的閉區域

D

變換為

xOy

平面上的

D

，且滿足

1）

x(u,v),y(u,v)

在

D

上具有一階連續偏導數

2）在

D

上雅克比行列式

J(u,v)= \left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \end{array} \right| \ne 0

3）變換

T

是一對一的

那麼二重積分

\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D

。

極座標和直角座標的聯絡為

x=x(\rho,\theta)=\rho cos \theta,y=y(\rho,\theta)=\rho sin \theta

，那麼雅克比行列式為

J(\rho,\theta)= \left|\begin{array}{ccc} cos \theta &-\rho sin\theta \\ sin\theta & \rho cos\theta \end{array} \right| = \rho

因此二重積分

\iint_D f(x,y)dxdy=\iint _D

。

同理可推得

球座標系

下的

體積微元

dV=r^2sin\phi dr d\phi d\theta

。

以上就是直角座標系、極座標系和球座標系下的多重積分之概念。其計算方法為

分次積分，將多重積分轉化為多次求一重積分

即可。

如果二元函式

f(x,y)

代表不均勻薄板的質量面密度，那麼二重積分則是它的總質量。如果

三元函式

f(x,y,z)

代表不均勻幾何體的質量體密度，那麼三重積分則是它的總質量。

參考資料

【1】《高等數學》 同濟版

標簽： 二重積分  積分  座標系  直角座標  區域 

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