《狹義與廣義相對論淺說》的扼要重述

摘要：在《狹義與廣義相對論淺說》中，愛因斯坦對相對論進行了科普，提出了時間與空間的相對性。狹義相對性原理是，若K’是相對於K作勻速運動而無轉動的座標系，則自然現象相對於K’的實際演變與相對於K的實際演變依據同樣的的普遍定律。狹義相對論中的（笛卡爾）座標變換由洛倫茲變換決定，空時連續區是歐幾里得連續區。廣義相對性原理是，所有參考物體，無論運動狀態如何，對於表述普遍自然界定律都等效。廣義相對論中的（高斯）座標可由任意變換決定，空時連續區是非歐幾里得連續區。

愛因斯坦

一、 狹義相對論

1。 幾何命題的物理意義

· 幾何學命題由概念和公理出發，透過邏輯推理得出，所以命題的真實性歸結於公理性的真實性，然而真實這一概念與幾何學不符，因為幾何學不涉及實在的經驗客體。

· 如果在幾何學中加入這一命題：在一個在實踐上可視為剛體的物體上的兩點永遠對應同一距離（直線間隔），而與我們我們可能使該物體發生的位置變化無關，歐幾里得幾何學便可視為物理學的分支，而幾何命題真實性問題的提出也有了合法性。

· 這種意義下幾何命題的真實性由不完整的經驗為基礎，而在廣義相對論中，歐幾里得幾何命題的真實性是有限的。

2。 座標系

· 長度測量的基礎是規定一個可作為量度標準的距離S，在A、B兩點作直線連線，從A出發，重複記取距離S，直到B位置，記取的次數即AB的數值量度。

· 描述一事件發生的地點或一物體在空間中的位置，可以以能夠在一剛體（參考物體）確定該事件或該物體的相重點為根據，此方法的前提是位置在剛體表面，且剛體表面存在可區分的點。

· 如果在描述位置時考慮數值量度而非剛性參考物體上的標定位置，會擺脫一些限制，笛卡爾座標系可達到此目的；笛卡爾座標系中有三個相互垂直的平面，由一剛體連線，事件發生地點由該地點向三個平面所做垂線的長度確定。

· 事件在空間中位置的每一種描述都要使用為描述這些事件而必須參照的一個剛體，距離在物理學中一般以一剛體上的兩個標記來表示。

3。 經典力學中的空間和時間

· 力學的目的在於描述物體在空間中的位置隨時間的變化。

· 物體在空間中運動的位置變化因參考物體的改變而改變，故空間中位置變化指的是相對於一個在實踐上可看作剛性的參考物體的變化。

· 我們還需要描述對於運動軌跡的每一個點，物體在什麼時刻位於該點，而這需要時間的概念，在經典力學中，我們可以使用時鐘每一聲滴答聲記下的時間。

4。 伽利略座標系

· 伽利略-牛頓力學的基本定律（慣性定律）是：一物體在離其它物體足夠遠時，一直保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。

· 如果要遵循慣性定律，需參照恆星在其中不做圓周運動的座標系來考察物體的運動，即伽利略座標系，伽利略-牛頓力學的定律只在伽利略座標系中有效。

5。 狹義相對性原理

· 若一質量m相對於一座標系K作勻速直線運動，另一座標系K’相對於K作勻速平移運動，則m相對於K’作勻速直線運動。

· 若K為一伽利略座標系，則其他每一個相對於K作勻速平移運動的座標系為伽利略座標系。

· 狹義相對性原理表述為：若K’是相對於K作勻速運動而無轉動的座標系，則自然現象相對於K’的實際演變與相對於K的實際演變依據同樣的的普遍定律。

· 支援相對性原理正確性的第一個論據是，經典力學對天體實際運動的描述具有驚人的精確度，在力學領域相對性原理具有很高的準確度，如果它在物理另一個領域無效，從先驗的角度看不太可能。

· 支援相對性原理正確性的第二個論據是，如果相對性原理不成立，則彼此作相對勻速運動的伽利略座標系對描述自然現象不等效，故我們可以選定一個絕對靜止的座標系K0，而其他伽利略座標系K都是運動的；這樣自然界定律與物理系統行為與地球在任一時刻的運動方向有關，且地球公轉速度方向的變化說明地球不可能全年相對於K0靜止，但地球物理空間的各向異性沒有被觀察到。

6。 經典力學中的速度相加定理

· 若人走路前進的速度為w，而人所在的火車前進速度為v，那麼人相對於路基的前進速度是v+w，這是經典力學的速度相加定理，而它實質上是不成立的。

7。 光的傳播定律與相對性原理的表面牴觸

· 光在真空中的直線傳播速度為c=300000000米/秒，這一速度與光的顏色和放光物體的運動速度無關。

· 如果速度相加定理成立，那麼沿路基發出的光線相對於同方向運動速度為v的火車運動速度為c-v

· 相對性原理自然而簡單，而洛倫茲的電動力學和光學研究證明真空中光速恆定定律的真實性，這是就產生了狹義相對論，在此理論中相對性原理和光的傳播定律並不牴觸。

8。 物理學的時間觀

· 對於理論物理學家，在他可能判斷一個概念在實際情況中是否被滿足之前，此概念還不能成立，所以對於同時性這一概念，我們需要用觀測的方法來檢驗。

· 若要檢測雷電是否同時擊中鐵軌上相距甚遠的兩地A和B，可以讓一位觀察者處在AB中點M，他有一觀測裝置（互成90度的兩面鏡子），使他用眼能一下在觀測到A和B，若此觀察者視神經同時感受到兩個雷電閃光，那麼它們就是同時的。

· 此檢測方法要求光從A到M和從B到M的傳播速度相同，這不是關於管的物理性質的假定或假說，而是為得出同時性的定義按自由意志作出的規定。

· 為得出物理學的時間定義，我們把構造完全相同的鐘放在座標系的諸點，並校準它們，使指標（按上述描述）同時指向相同的位置，這樣時間可定義為放置在該事件最鄰近處的鐘的讀數。

· 此定義中規定假定相同的鐘以同樣的時率走動，也就是說如果在一個鐘指標指著某一特定位置的（按上述描述）同時，其他鐘的指標也指著相同位置，那麼這些鐘的指標位置總是同時的。

9。 同時性的相對性

· 對於路基來說同時的兩個時間，對於以恆速v運動沿某一方向行駛的火車來說並不是同時的。

· 若A、B兩處雷擊相對於火車同時，那麼在A（左）、B（右）閃電所發出的光在AB中點M相遇，在火車上對應的A、B兩處的中點M’，在雷電閃光發生時與M重合，但M’以速度v沿火車行駛方向（右）運動，故位於M’的觀察者先看到B發出的光線，後看到A發出的光線。

· 每一參考物體都有它的特殊時間，關於一事件時間的陳述，若沒指出相對於哪一參考物體，則無意義。

· 在相對論之前，物理學隱含地假定時間的陳述具有絕對意義，與參考物體的運動狀態無關，此假定與同時性定義不相容，若拋棄此假定，真空中光的傳播定律與相對性原則便不牴觸。

· 時間的絕對性說若在火車上的人每秒相對於車廂走距離w，那麼他每秒相對於路基也走距離w，然而時間具有相對性，故在火車上走動的人相對於路基走距離w的人，從路基上的時間看不一定需花一秒鐘。

10。 距離概念的相對性

· 在速度為v的火車上，觀測者用量杆從一點一下一下地量到另一點，量的次數便是火車上兩點的距離。

· 如果在火車上的兩點A’和B’在路基上對應這樣的兩點A和B，使其在一特定時刻t各為A’和B’所透過，那麼從先驗角度講，用量杆沿路基量取的A、B兩點距離不一定與火車上量取的A’、B’兩點距離相同。

11。 洛倫茲變換

· 我們想要尋找各事件相對於一參考物體的地點和時間與各該事件相對於另一參考物體的地點和時間的這樣一種關係，使得光無論相對於哪個參考物體穿比速度都是c。

· 一事件相對於座標系K在空間中由座標平面的三條垂涎x，y，z表示，時間由t表示，相對於另一座標系相應地用x’，y’，z’，t’來表示。

· 若已知一事件相對於K的四個量值，我們想要得到該事件相對於K’的四個量值，使得同一條光線相對於K和K’都滿足真空中的傳播定律，則需要洛倫茲變換：

· 若按照經典力學中時間和長度具有絕對性的假設，我們得到的是伽利略變換：

在洛倫茲變化中以無窮大代替光速c，便得到伽利略變換。

· 若真空中光的傳播定律在座標系K中被滿足，x=ct，那麼透過洛倫茲變換得到

那麼x’=ct’，即若真空中光的傳播定律在座標系K’中也被滿足。

12。 量杆和種在運動時的行為

· 沿K’的x’軸放一剛性米尺，始端與x’=0重合，終端與x’=1重合，米尺相對於K的長度根據洛倫茲變是

而米尺相對於K以速度v運動，故剛尺在運動時比靜止時長度更短，且運動越快長度越短，當速度v=c時，長度為0，當速度更大長度為虛值，故光速c是任何實在物質不能達到或超越的極限速度。

· 相對於K靜止的在x軸上的米尺相對於K’的長度也是

故相對性原理得到滿足。

· 一個永久放在K’原點的鐘在t’=0和t’=1時報時兩次，相對於K經過的時間是

故鍾在運動時比靜止時走的更慢，當速度v=c時，時間走得無限慢。

13。 速度相加定理和斐索實驗

· 假設一個質點相對於座標系K’按方程x’=wt’運動，那麼它根據伽利略變換相對於座標系K的運動速度是v+w，而根據洛倫茲變換相對於座標系K的運動速度是

· 斐索實驗想要檢測的問題是，加入光在某種靜止的液體中以速度w傳播，那麼光在管內以速度v流動的該液體中的傳播速度是多少？根據相對性原理，由於光相對於液體的傳播速度總是w，液體相對於管的運動速度是v，我們想求光相對於管的運動速度。

· 實驗結果與按洛倫茲變換和相對論推出的速度相符，此外，塞曼的實驗結果表明測的的速度的誤差恆保持在百分之一以內。

· 洛倫茲在相對論提出之前就提出了關於此現象的理論，原始理論由麥克斯韋-洛倫茲電動力學建立，故相對論由電動力學發展出來，是相互獨立組成電動力學的各假說的綜合。

14。 相對論的啟發作用

· 每一個普遍的自然定律必須是這樣建立的：若我們用座標系K’的空時變數x’，y’，z’，t’代替座標系K的空時變數x，y，z，t，則經過變換後該定律的形式完全相同，也就是說，普遍的自然定律對於洛倫茲變換是協變的。

15。 狹義相對論的普遍性結果

· 狹義相對論對電動力學和光學的理論預測並未作多少修改，但簡化了理論的結構和定律的推導，並減少了構成理論基礎的獨立假設的數目。

· 經典力學需要修改才能與像一相對論一致，此種修改只對速度比光速小的不多的高速運動定律，即電子和離子的運動定律有影響，在其他運動中經典力學和狹義相對論所得結果相差極微。

· 具有質量m的質點的動能不再由公式

表達，而是由公式

表達，故無論產生加速度的能量多大，速度v必然小於光速c。

· 在相對論創立之前，能量守恆定律與質量守恆定律是相互獨立的，而根據相對論，這兩個定律已結合成一個定律。

· 若一物體以速度v運動，以吸收輻射的形式吸收了能量E0，若速度不變，則該物體吸收能量後的能量是

這樣可得出，若一物體吸收能量E0，其慣性質量增加

故物體的慣性質量不是恆量，而是隨能量的變動而變動。

· 目前此關係式還無法用實驗驗證，我們還不能使一個物系發生的能量變化大到引起慣性質量變化的程度，所以經典力學才將質量守恆確立為一個獨立的定律。

· 用阿爾法粒子、質子、氘核、中子或伽馬射線轟擊元素引起的核變已經充分證實了質能相當性關係式

· 由於電磁超距作用的法拉第-麥克斯韋解釋獲得成功，物理學家確信，像牛頓引力定律那樣不涉及中介媒介的瞬時超距作用不存在，按照相對論，瞬時超距作用應被按光速傳播的超距作用代替。

16。 經驗和狹義相對論

· 相對論可以解釋地球對恆星的相對運動對於恆星傳到地球的光的效應，這些效應與經驗相符；效應一是地球繞日運動引起恆星視位置的週年運動（光行差），效應二是恆星傳到地球的光的光譜線位置與地球上光源所產生的相同光譜線位置相比有微小的移動（多普勒效應）。

· 支援麥克斯韋-洛倫茲理論的論據大多支援相對論，但有兩類實驗事實，若不引用相對論，便無法用麥克斯韋-洛倫茲理論來表示。

· 陰極射線和貝塔射線由慣性很小速度很大的帶負電的粒子（電子）組成，在對電子進行理論描述時，電動力學理論不能解釋電子本性；構成電子的負的電質量在本身相互排斥的影響下必然離散，如果假定電質量的相對距離在電子運動過程中不變（經典力學剛性連線），則得到與經驗不服的電子運動定律。

· 洛倫茲假定電子外形會在運動方向發生收縮，此假設沒有被電動力學的事實證明，然而相對論推出了同樣的運動定律，而無需藉助關於電子結構和行為的假設，斐索實驗也得出了相似的結論。

· 第二類事實設計地球在空間中的運動能否用地球上的實驗來觀察的問題，這類企圖都得到了否定的答案，令人們很難接受。

· 若麥克斯韋-洛倫茲方程對座標系K成立，而伽利略變換不容置疑，則這些方程對相對於K作勻速運動的座標系K’不成立，那麼必有一伽利略座標系對一種特別運動狀態具有物理唯一性；相對論之前的解釋是K相對於空間中的以太靜止，而所有相對於K運動的K’相對於以太運動。

· 物理學家試圖探測以太漂移是否存在於地球表面，邁克耳孫的設想是在一個剛體上放置兩面反光面相互面對的鏡子，若系統相對於以太靜止，那光線從一面鏡子射到另一面再返回就需要確定的時間T，而若相對於以太運動，則需要不同的時間T’，且若相對於以太運動速度不變，垂直於鏡面運動的T’與平行於鏡面運動的T’是不同的，然而實驗結果完全否定了這些假設。

· 洛倫茲和斐茲傑惹假定物體相對於以太的運動引起物體收縮，按相對論看，這種解釋可行，但是並沒有理由假定唯一座標系的存在並引進以太和以太漂移的觀念，運動物體的收縮由相對論兩個基本原理推出，二造成收縮的首要因素不是運動本身，而是相對於參考物體的運動。

17。 閔可夫斯基四維空間

· 閔可夫斯基簡稱為世界的物理現象世界，是一個四維空時連續區，因為事件由x，y，z，t四個值描述，連續是指臨近時間座標可相差無窮小量。

· 相對論之前，時間充當著不同於空間座標的獨立角色，所以人們習慣於把時間看作獨立的連續區，而不把世界看作四維連續區。

· 洛倫茲變換的第四方程表明時間失去了獨立性，且當兩事件相對於K時間差為零時，相對於K’時間差一般不等於零，兩時間相對於K的空間距離成為該兩事件相對於K’的時間距離。

· 閔可夫斯基發現相對論的四維時空連續區在最主要的形式性質方面，與歐幾里得空間的三維連續區有明顯的關係，為表示此關係，我們必須用

來代替通常的時間座標t，這樣時間座標的作用就與三個空間座標完全一樣。

二、 廣義相對論

1。 狹義和廣義相對性原理

· 從狹義相對性原理來看，每一種運動都是相對運動，不管引用火車還是路基作為參考物體，普遍自然界定律的形式是完全一樣的，也就是說，在參考物體中沒有一個比另一是唯一的，與前一種表述不同，後一種表述不是由於推論自然成立，而只能被經驗驗證。

· 對於狹義相對性原理，我們的思路如下：假定存在以參考物體K，其運動狀態使伽利略定律對它而言成立，一質點若不受外力作用並離其他質點足夠遠，則該質點作勻速直線運動；此外，所有相對於K作勻速直線無轉動運動的參考物體（伽利略參考物體），對於描述自然界定律與K完全等效。

· 廣義相對性原理的陳述如下：所有參考物體，無論運動狀態如何，對於表述普遍自然界定律都等效。

· 若火車作勻速運動，車廂裡的人不會感受到運動，而若火車作非勻速運動，此運動就會由物體相對於人的力學行為表現出來，故伽利略定律對於作非勻速運動的火車不成立，而若否定廣義相對性原理並賦予非勻速運動特殊的物理實在性，卻是不能成立的。

2。 引力場

· 從電磁現象可得出，沒有中間媒介的超距作用是不可能的，如磁鐵吸鐵，磁鐵在周圍空間產生具有物理實在性的磁場，作用於鐵塊，我們應該用相似的方式看待引力。

· 地球對於掉落的石塊的作用不是直接的，而是透過地球在周圍產生的引力場，作用於石塊並引起石塊下落，當物體離地球更遠，地球對物體的作用強度按確定定律減小；物體在其最鄰近處產生一個場，場再離開物體各點的強度和方向由支配引力場的空間性質定律確定。

· 在引力場唯一影響下運動的物體得到一個加速度，此加速度與物體材料和運動狀態無關，換句話說，按照牛頓定律，（力）=（慣性質量）x（加速度），而若引力引起加速度，（力）=（引力質量）x（引力場強度），所以

· 在同一引力場，加速度一樣，故物體的引力質量與慣性質量之比一樣，若選取適當單位使比值為1，則可得出物體的引力質量等於其慣性質量，此定律的解釋是，物體同一性質按不同處境表現為慣性或重性。

3。 慣性質量和引力質量相等是廣義相對性公理的論據

· 假設在一無所有的空間中有很大的一部分，離可感知質量遙遠，基本滿足伽利略基本定律所要求的條件，把一個大箱子作為參考物體，裡面安置一個觀察者，用繩子把自己拴在地板上；箱子外安裝了繫有纜索的鉤子，纜索被以恆力拉動，箱子作勻加速運動上升，被我們在一個未用繩牽的參考物體中觀察。

· 箱子的加速度要透過地板的反作用力才能傳給箱子內的觀察者，他必須用腿承受此壓力，故他與站在地球上房間裡完全一樣，若他鬆手放開一物體，物體會作加速相對運動掉到地板上，觀察者會判定，無論物體是什麼，物體朝箱子地板的加速度總有相同量值。

· 觀察者認為自己及箱子一個對於時間恆定的引力場中，他疑惑箱子在引力場中不降落，而當他發現繫著纜索的鉤子，便會認為箱子靜止地懸掛在引力場中；我們不應認定他錯了，雖然我們認定箱子相對於伽利略空間作加速運動，但也能認定箱子靜止，故相對性原理可推廣到相互作加速運動的參考物體。

· 這種解釋的基礎是引力場是一切物體獲得相同加速度，也就是說，慣性質量和引力質量相等；假設箱子裡的人將繩子一端系在箱子蓋內面，另一端系在一物體上，繩子伸張，箱子裡的人認為物體受到引力場中的引力，繩子張力由物體引力質量決定，箱子外的人認為繩子參與箱子加速運動傳給物體，繩子張力由物體慣性質量決定。

· 人們可能會認為引力場的存在是一種表現的存在，或無論存在何種引力場，總能選取一參考物體使得對它而言沒有引力場存在，這不是對於所有引力場都正確，只對特殊的引力場才是正確的。

· 若火車作非勻速運動，此運動就會由物體相對於人的力學行為表現出來，這種表現不僅可以歸因於實在的加速度，也可以歸因於對於時間而言可變的引力場。

4。 經典力學的基礎和狹義相對論的基礎在哪些方面不令人滿意

· 經典力學的基本定律，離其他質點足夠遠的質點保持靜止或勻速直線運動，只對具有某些特殊運動狀態並相對作勻速平移運動的參考物體K有效，而相對於其他參考物體K’失效。

· 在經典力學或狹義相對論中，沒有實在的東西能說明為什麼物體對於參考物體K和K’的表現不同，此缺陷在參考物體運動無需外力維持，如勻速轉動時，尤為突出，廣義相對論能消除此缺陷，因為它對一切參考物體都成立。

5。 廣義相對性原理的推論

· 廣義相對性原理使我們以純理論推出引力場性質，若已知一自然過程相對於一個伽利略參考物體K如何發生，便可以透過純理論計算判定此自然過程對於相當於K作加速運動的參考物體K’如何表現。

· 相對於伽利略參考物體K，一道光線沿直線以速度c傳播，而相對於作加速運動的參考物體K’，這道光線的傳播路線不再是直線，故可得出，光在引力場中一般沿曲線傳播；光當線穿過人們可利用的引力場，只有極微小的曲率，而當光線以掠入射方式經過太陽，曲率會很顯著。

· 按照廣義相對論，作為狹義相對論的基本原理之一的真空中光速恆定定律不是無限有效的，光線的彎曲只有在光的傳播速度隨位置而改變時才能發生；狹義相對論的有效性不是無限的，而只有不考慮引力場對現象影響時才是有效的。

· 狹義相對論和廣義相對論的關係如同靜電學和電動力學的關係一樣，前者作為後者的極限情況存在。

· 相對於一個無論作何運動的參考物體K’來考察沒有引力場的伽利略區域，相對於K’存在一個對於空間和時間可變的引力場，按照廣義相對論，普遍引力場定律能夠從這樣的特殊引力場中推匯出來。

6。 在轉動參考物體上鍾和量杆的行為

· 假設一空時區域相對於參考物體K不存在引力場，K對於此區域是伽利略參考物體，且狹義相對論的結果對於K成立；假設參考物體K’對於K作勻速轉動，K’具有平面圓盤的形式，在其本身平面內圍繞其中心作勻速轉動。

· 在圓盤K’上離開盤心而坐的人感受到沿徑向向外的一個力，相對於K靜止的觀察者會把這個力解釋為慣性效應（離心力），而坐在圓盤上的觀察者會根據廣義相對性原理把圓盤看作靜止的，因為他把作用於他身上的力看作是引力場效應。

· 圓盤K’上的觀察者構造兩個完全相同的鐘，一個放在圓心，一個放在邊緣，兩個鐘相對於K’靜止；從伽利略參考物體K來看，圓心的鐘無速度，而邊緣的鐘相對於K運動，所以第二個鍾走的更慢，坐在圓盤中心旁的觀察者也會觀察到此現象，故無法根據相對於參考物體靜止的鐘得出時間和同時性的定義。

· 若圓盤K’上的觀察者把標準量杆放在圓盤邊上並使之與圓盤相切，從伽利略座標系K看此杆長度小於1，然而如果把量杆沿半徑方向放在圓盤上，從K看此杆不會縮短，這樣觀察者算出的圓周率比3。14…大，故歐幾里得幾何命題不能在引力場中嚴格成立，無法藉助狹義相對論使用的方法規定下圓盤座標。

7。 高斯座標

· 按高斯的論述，可在桌面上畫一個無限稠密的曲線系，並用一個實數表示一個u曲線，這些u曲線彼此不相交，桌面上每一點必有一條且僅有一條曲線透過，故每一點都有一個完全確定的u值；可以用同樣的方式畫出另一些v曲線，每一點的u值和v值就是該點的高斯座標。

· 桌面上相鄰兩點P和P’對應的座標是

其中du和dv表示極小值，同理，極小值ds可以表示P和P’的像是用一根小杆測量得到的距離

其中g11，g12，g22由u和v決定，這些量決定小杆相對於桌面的行為。

· 當桌面上的點相對於量杆構成歐幾里得連續區，u曲線和v曲線便是歐幾里得幾何學相互垂直的中的直線，且

高斯座標便成為笛卡爾座標；高斯座標只是兩組數和麵上點的締合，此方法也可應用於高維連續區。

· 表述ds的方法只有在連續區內足夠小的區域可被當作歐幾里得連續區時才有效，如大理石桌面和區域性溫度變化，故正方形作圖法的缺陷擴充套件到相當大一部分桌面才會明顯表現出來。

· 高斯發明了對一般連續區作含有距離定義的數學表述的方法，一個連續區內每點可由若干數（高斯座標）表示，座標數量等於連續區維度，高斯座標系是笛卡爾座標系的邏輯推廣。

8。 狹義相對論的空時連續區可當作歐幾里得連續區

· 按照狹義相對論，我們用伽利略座標系描述四維空時連續區，每個事件用四個座標x，y，z，t（有物理意義）來確定，從一個伽利略座標系過渡到另一個相對於此座標系作勻速運動的另一個伽利略座標系，洛倫茲變換方程完全有效，這些方程表述光的傳播定律對於一切伽利略參考系有效。

· 閔可夫斯基發現洛倫茲變換滿足以下條件

此條件確定了洛倫茲變換的有效性，而四維空時連續區相鄰兩點的

對於一切伽利略參考物體具有相同的值。

· 如果我們不選取實變數t而選取虛變數

作為時間變數，便可以按狹義相對論把空時連續區當作歐幾里得四維連續區。

9。 廣義相對論的空時連續區不是歐幾里得連續區

· 按照廣義相對論，當引力場存在時，光速必須依賴於座標，而狹義相對論使用的座標和時間由於引力場的存在而失效，故空時連續區不能被看作歐幾里得連續區。

· 四維空時連續區可以用任意高斯座標系作參照，一個事件用四個座標x1，x2，x3，x4（無物理意義）來確定；一個永久存在的點需要無窮多組的座標數值來描述，這些緊密的點形成一根線，連續區中任意的線對應運動的點，而只有關於這些點會合的陳述才具有物理意義，而用數學表述，會合意味著兩根代表運動的點的線有一組特別座標值彼此共同。

· 當我們描述一個相對於參考物體運動的點，我們陳述的是這個點與參考物體各特定點的會合，我們也可以藉助物體和鐘的會合和鍾指標和標度盤上各點的會合確定時間值，用量杆進行空間測量也是同理。

· 每一個物理描述可分為多個陳述，每一陳述涉及A、B兩事件的空時重合，並由兩事件的四個高斯座標表達，此描述代替藉助於參考物體的描述，不會受到歐幾里得特性的限制。

10。 廣義相對性原理的嚴格表述

· 廣義相對性原理的嚴格表述是，所有高斯座標系對於表述普遍自然界定律在本質上是等效的，也就是說，對高斯座標應用任意變換，這些方程變換後形式相同，因為任一變換（不僅是洛倫茲變換）都是從一個高斯座標系到另一個高斯座標系的過渡。

· 狹義相對論和沒有引力存在的伽利略區域相關，伽利略參考物體是一個剛體，其運動狀態要求使孤立質點作勻速直線運動的伽利略定律對此剛體成立。

· 把伽利略區域引入非伽利略參考物體，對於這些物體便存在特殊引力場，引力場中沒有具有歐幾里得性質的剛體，虛設的剛性參考物體對於廣義相對論無用，鐘的運動由於受到引力場影響，藉助於中作出的時間的物理定義無法達到狹義相對論中同樣程度的真實感。

· 我們使用非剛性參考物體，此物體不僅運動是任意的，而且在運動中可以發生形變，鍾無論遵循什麼不規則運動，都可以用來確定時間，每個鍾固定在非剛體參考物體的一點，空間中相鄰的鐘彼此相差無窮小量，我們把非剛性參考物體上每一點當作一個空間點，相對於空間點靜止的質點就當作靜止的，廣義相對性原理要求這些非剛性參考物體都可以用來表述普遍自然界定律。

11。 在廣義相對性原理的基礎上解引力問題

· 若參照參考物體K’的任一高斯座標系來考察此區域，相對於K’存在一引力場G，我們把量杆、鍾和質點相對於K’的行為解釋為在G影響下的行為 ，並假設這些影響將按相同定律發生下去。

· 透過座標變換由伽利略特殊情況匯出的引力場定律不是普遍的，為得到普遍引力場定律，我們應推廣這些定律，使其滿足廣義相對性原理，且當任何物質堆砌激發一個場的效應，只有慣性質量/能量是重要的，且引力場加上物質必須滿足能量和衝量守恆定律。

· 這樣由廣義相對性公理匯出的引力論，可以消除經典力學的缺陷，解釋慣性質量和引力質量相等的經驗定律，也能解釋一個經典力學無法解釋的天文觀測結果。

· 如果引力場相當弱，且引力場內所有相對於座標系運動的質量的速度比光速小得多，我們就可以近似得到牛頓引力理論，而無需質點間吸引力與質點距離平方成反比的假定。

· 按照牛頓理論，行星沿橢圓軌道繞恆星執行，此橢圓軌道相對於恆星系固定不變，此陳述的唯一觀測例外是離太陽最近的水星，它的軌道緩慢地在軌道平面內沿軌道運動方向轉動；按照廣義相對論，每一個繞日執行的行星橢圓軌道都會按此方式轉動，只是其他行星的轉動太小無法觀測到。

· 另外兩個只能從廣義相對論推出的推論，光線因太陽引力場發生彎曲，以及來自巨大星球的光的譜線相比於地球上由同一種原子產生的光譜線有位移，均得到觀測證實。

三、 對於宇宙的考慮

1。 牛頓理論在宇宙論方面的困難

· 就空間和時間而言，宇宙是無限的，雖細微部分物質密度變化很大，可平均來說，無論多遠，恆星群種類和密度均類似，而牛頓理論要求宇宙具有某種中心，中心星群密度最大，而向外走星群密度逐漸減小，非常遙遠處成為一個無限的空虛區域。

· 這種理論導致的結果是，從恆星中發出的光和恆星系中個別恆星不斷奔向無限空間，一去不返，且不再與自然客體發生相互作用，有限的物質宇宙註定將逐漸而系統地被削弱。

· 希來哲對牛頓定律提出修正，假定對於很大的距離，兩質量間吸引力比按照平方反比定律減小得更快，這樣物質密度便可能處處一樣，而不會產生無限大的引力場，但這種修改和複雜化沒有理論依據，與牛頓理論相比，並沒有建立在更普遍的原則上。

2。 有限而又無界的宇宙的可能性

· 非歐幾里得幾何學的發展導致，我們雖可以懷疑宇宙空間的無限性，卻不會與思維規律或經驗衝突。

· 設想在二維空間中存在持有扁平工具（剛性量杆）的扁平生物，它們的宇宙是二維的，延伸到無限遠處，他們的宇宙可以容納無限多用杆子構成的相同的正方形，所有杆子代表同樣的距離，與位置無關。

· 另一種二維生物生活在球面而非平面上，這種生物與它們的量杆與球面完全貼合，它們不能認為它們的幾何學是平面幾何學，因為它們想實現的直線實則是曲線，從三維生物看這些直線是大圓，有確定的有限長度，可用量杆測出，這些生物的宇宙是有限而無界的。

· 這些生物從一點出發，沿所有方向畫出等長直線，把連線這些線自由端的線稱作圓，按歐幾里得幾何學，圓周與半徑之比是pi，與圓的直徑大小無關，而球面上圓周與半徑之比是

此值小於pi，且圓半徑r與世界球半徑R之比越大，此值與pi差別越大，而若球面上的部分非常小，球面生物便會認為自己居住在歐幾里得平面，以為球面上微笑的部分與平面上同樣大小的部分相差甚微。

· 在所有閉合曲面中，只有球面滿足曲面上所有點等效，世界球是一個等曲率曲面；二維球面宇宙的三維類比是黎曼的三維球面空間，它的點都等效，並具有由半徑確定的有限體積，此三維球面空間同樣也是有限而無界的。

· 我們從一點向所有方向拉出繩索，並用量杆在繩索上選取距離r，具有長度r的繩索的所有自由端點在一個球面上，如果在歐幾里得平面，測出的曲面面積是

而在球面宇宙，測出的曲面面積小於此值，隨著r增大，此面積從零增加到由世界半徑確定的最大值，但若r繼續增大，此面積降縮為零，從起始點輻射出的直線相距邊緣，然後又相互趨近，直到相會於與起始點相對的的對立點。

· 另一種彎曲空間是橢圓空間，其中兩個對立點是等樣的，橢圓宇宙可被看作一箇中心對稱的彎曲宇宙。

3。 以廣義相對論為依據的空間結構

· 根據廣義相對論，空間的幾何性質不是獨立的，而是由物質決定的；對於一個適當的座標系，諸星的速度比光的傳播速度小的多，故若將物質看作靜止，就能在粗略的近似程度上得出關於宇宙性質的結論。

· 我們的宇宙和歐幾里得宇宙僅有微小的差別，即使太陽那樣大的質量對於周圍空間度規的影響也極其微小；就幾何學而論，我們宇宙的性質類似於一個曲面，它在各個個別部分上不規則地彎曲，但整個曲面與平面無顯著差別，這就是準歐幾里得宇宙，其中物質平均密度必然等於零。

· 如果物質是均勻分佈的，宇宙就必然是球形或橢圓的，由於實際上物質的細微分佈不均，實在的宇宙在其各個個別部分上與球形有出入，即宇宙是準球形的，這個宇宙必然是有限的。

參考文獻：

愛因斯坦，《狹義與廣義相對論淺說》

轉自本人豆瓣賬號鸚鵡螺