Schur分解及Hermite矩陣

作者：由噠啵甜發表于歷史時間：2021-05-05

上一節學習了矩陣的QR分解，並且這種分解方式是唯一的。這一節將學習在酉空間中矩陣的Schur分解，最後學習酉矩陣可對角化的充要條件，進而引出正規矩陣的概念及Hermite矩陣

1。 Schur定理

任意矩陣

$A \in C ^{n \times n}$

，一定存在酉矩陣

，使得

$U^{-1}AU$

為上三角矩陣

證明：

之前學習過任意矩陣可相似於Jordan標準型，因此存在非奇異矩陣

成立

$AP=PJ\\$

根據上一節的QR分解，任意非奇異矩陣都可以分解為QR的形式，其中Q為標準正交矩陣，因此

可以分解為

$P=UR\\$

其中

是酉矩陣，

是主對角線上元素都大於0的上三角矩陣，因此

$AUR=URJ\\$

對等式做進一步變形，則

$U^{-1}AU=RJR^{-1}\\$

因為

為上三角矩陣，所以

$R^{-1},RJR^{-1}$

也為上三角矩陣，因此矩陣

可相似於對角矩陣

2。酉相似對角矩陣定理

前面的Schurd定理給出了酉矩陣一定可相似於上三角矩陣，那什麼情況下酉矩陣會相似於對角矩陣呢

給定矩陣

$A \in C^{n \times n}$

，存在酉矩陣

，使得

$U^{-1}AU$

為對角矩陣的充要條件是

$\overline A^TA = A\overline A^T \quad\quad(*)\\$

其中滿足

條件的矩陣

稱為

正規矩陣

，因此酉矩陣

可相似對角化的充要條件是

為正規矩陣

證明

必要性：

已知：

$U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1\\ &\ddots\\ && \lambda_n \end{bmatrix}\\$

記

$\begin{bmatrix} \lambda_1\\ &\ddots\\ && \lambda_n \end{bmatrix} = \Lambda\\$

則

$A=U \Lambda U^{-1}=U \Lambda \overline U^T\\$

因此

$\overline A^T A \overline {(U \Lambda \overline U^T)}^T U \Lambda \overline U^T=U\Lambda U^{-1}U \overline \Lambda ^T \overline U^T = A \overline A^T\\$

充分性：

已知：

$\overline A^TA = A\overline A^T$

由Schur定理，存在

矩陣，使

$U^{-1}AU$

為上三角矩陣，即

$U^{-1}AU = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots & * & \\ &\ddots & \vdots\\ &&\lambda_n \end{bmatrix}=\widetilde \Lambda\\$

因此

$A = U\widetilde \Lambda U^{-1}= U\widetilde \Lambda \overline U^T,A^T=U \overline {\widetilde \Lambda}^T \overline U^T\\$

由已知條件

$U \overline {\widetilde \Lambda}^T \overline U^TU\widetilde \Lambda \overline U^T = U\widetilde \Lambda \overline U^TU \overline {\widetilde \Lambda}^T \overline U^T\\$

可以得出

$\overline {\widetilde \Lambda}^T \widetilde \Lambda = \widetilde \Lambda \overline {\widetilde \Lambda}^T\\$

因此

$\begin{bmatrix} \overline \lambda_1 \\ \vdots & \ddots\\ \overline *&\cdots& \overline \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots & * & \\ &\ddots & \vdots\\ &&\lambda_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots & * & \\ &\ddots & \vdots\\ &&\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline \lambda_1 \\ \vdots & \ddots\\ \overline *&\cdots& \overline \lambda_n \end{bmatrix}\\$

透過比較元素可得，

$\widetilde \Lambda$

為對角矩陣，即

$\widetilde \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1\\ &\ddots\\ &&\lambda_n \end{bmatrix} \\$

3。 Hermite矩陣

3。1 Hermite矩陣的定義

矩陣

$A \in C^{n \times n}$

，若滿足

$\overline A^T = A$

，則矩陣

為Hermite矩陣

3。2 Hermite矩陣的性質

Hermite矩陣為正規矩陣

證明：顯然

Hermite矩陣可對角化

證明：Hermite矩陣為正規矩陣，由定理正規矩陣可對角化

Hermite矩陣的特徵值為實數

證明：

$A \alpha = \lambda \alpha\\$

等式兩邊取共軛轉置，則

$\overline \alpha^T\overline A^T = \overline \alpha^T A = \overline \lambda \overline\alpha ^T\\$

等式兩邊右乘

$\alpha$

，則

$\overline \alpha^T A \alpha =\overline \alpha^T \lambda \alpha = \lambda \overline \alpha^T\alpha = \overline \lambda \overline\alpha^T \alpha\\$

因此

$\overline \lambda = \lambda\\$

所以

$\lambda$

為實數

4。正定、非負定Hermite矩陣

4。1 正定、非負定Hermite矩陣定義

已知Hermite矩陣

正定：

$\overline x^TAx > 0$

非負定：

$\overline x^TAx \geq 0$

4。2 非負定Hermite矩陣的最大特徵值的極值刻畫

特徵值的最大值

$\lambda_{\max} =\max \limits_{x \ne 0}\{ \frac{\overline x^TAx}{\overline x^Tx} \} =\max \limits_{\|x\| = 1}\{\overline x^TAx \} \\$

首先說明一下第二個等式如何過去的，因為

$\overline x^Tx= \langle x,x\rangle = \|x\|^2\\$

因此

$\frac{\overline x^TAx}{\overline x^Tx} = \frac{\overline x^TAx}{\|x\|^2} = \frac{ \overline x^T}{\|x\|}A\frac{x}{\|x\|} = \overline x^TAx\\$

其中新的

$x=\frac{x}{\|x\|}$

，滿足

$\|x\|=\|\frac{x}{\|x\|}\|=\frac{1}{\|x\|}\|x\|=1\\$

即

在單位球上

證明：

因為

為Hermite矩陣，因此矩陣

可相似於對角矩陣，即

$U^{-1}AU = \overline U^TAU = \begin{bmatrix} \lambda_1\\ &\ddots\\ && \lambda_n \end{bmatrix}=\Lambda\\$

因此可以得到

$A=(\overline U^T)^{-1}\Lambda U^{-1}=U\Lambda U^{-1}\\$

因此

$\overline x^TAx = \overline x^T(U \Lambda \overline U^T)x = \overline {(\overline U^Tx)}^T \Lambda (\overline U^Tx)\\$

令

$y=\overline U^Tx\\$

因此

$\overline x^TAx = \overline y^T\Lambda y = \lambda_1\|y_1\|^2+\lambda_2\|y_2\|^2+...+\lambda_n\|y_n\|^2\\$

其中

$\langle y,y \rangle = \overline y^Ty = \overline{ \overline U^Tx}^T \overline U^Tx = \overline {x^T \overline U} \overline U^Tx = \overline x^T U\overline U^Tx =\overline x^Tx =\langle x,x \rangle =1\\$