二次型的慣性定理中「慣性」是什麼意思？ - 知乎使用者 的回答 - 知乎

知乎使用者.css-1cd9gw4{margin-left:.3em;}2022-09-19 22:01:06

先宣告一下，你這命題不是正確的。正確的命題應該是這樣的：

慣性定理：有限的

實

二次型（定理所指不是復二次型）的

規範形（應該是“形”而非“型”）

唯一。

因為慣性定理，所以才定義了正負慣性指數等等概念。

之後，由於實數域上的正定性與複數域的正定性不同，命題的推廣受到一定影響。這定理說明對於實二次型，正負慣性指數（或者正慣性指數+秩）便可以

完全決定相合類

（以相合這個二元關係作為等價關係進行劃分，因為二次型矩陣階數與秩的差就是規範形中係數為0的項個數，係數為1和-1的分別由正負慣性指數唯一確定，二者之和即為矩陣的秩）；但是對於複數域，由於正定性改變，便只需要矩陣的秩了。

所以，

對於有限的實二次型，矩陣的秩和正慣性指數完全決定了這個二次型所在的相合類

。或者說

秩與正慣性指數是相合關係下的完全不變數

。

根據A。H。柯斯特利金《代數學引論》第二卷第1章第4目（Page 35）的註解，“二次型的慣性定律歸功於Sylvester，起源於力學”，可能是當年老先生的時代“完全不變數”這種幾何術語還沒有，又加之其研究的是力學問題，這種像是物體固有屬性的東西不知道叫什麼好，所以就起了一個俗名“慣性”吧。

說這些主要是希望題主明白，所謂慣性定理，只是陳述

秩與正慣性指數是相合關係下的完全不變數

這件事而已。