11588 一道「小黃鴨」機率題及其有趣擴充套件 (3)

（題圖來自：如果洗澡時你的桌布衝了進來，你會怎麼辦？）

在這一篇中，我們來直搗黃龍地研究如下問題：在

維空間中的

維超球面上隨機、均勻地選取

個點，它們位於同一個半超球面的機率是多少？

在本系列的第 2 篇中，我們藉助「

維單純形」的概念從低維突破進了高維，但這帶來了「點數必須等於空間維數加 1」的侷限。要打破這個侷限，就只能扔掉「單純形」這根柺棍了。既然問題是關於「半超球面」的，我們就從這個概念本身入手。

注意到，在「半超球面」上，有一個「極點」的概念。例如，在三維空間中，考慮地球的表面，那麼「北半球」這個半球面的極點就是「北極」。反過來，在超球面上，指定一個極點，也能唯一確定一個半超球面。仍以地球為例，指定「南極」這個極點後，就唯一確定了「南半球」這個半球面。這樣，我們就把「半超球面」這種龐然大物，跟「點」這種小巧玲瓏的概念對應了起來。我們可以考慮：若

個點位於同一個半超球面上，那麼這個半超球面的極點 P，要滿足什麼條件呢？

我們回到二維來直觀地觀察。設二維空間中有一個圓 O，其圓周上有 A、B、C 三點位於同一個半圓弧上，這個半圓弧的極點為 P。不難發現，角 POA、POB、POC 都必須是銳角（或直角）。

圖 3。1：A、B、C 三點都位於以 P 為極點的半圓弧上

注意，在「角 POA」這個說法中，點 P 和點 A 的地位是對稱的。這提示我們，「A 位於以 P 為極點的半圓弧上」，也可以說成是「P 位於以 A 為極點的半圓弧上」。於是我們就發現了點 P 可以活動的範圍：它必須位於以 A、B、C 為極點的三個半圓弧的交集中。如果像下圖（左）那樣，這三個半圓弧有交集（黃色圓弧），那麼就可以說「A、B、C 位於同一個半圓弧上」，P 點可以在這個交集裡自由活動；如果像下圖（右）那樣，這三個半圓弧沒有交集，那麼 A、B、C 三點就不位於同一個半圓弧上，P 點就無處容身了。

圖 3。2：（左）P 點位於以 A、B、C 為極點的三個半圓弧的交集（黃色圓弧）上；（右）以 A、B、C 為極點的三個半圓弧沒有交集，P 點不存在

在上面的兩個圖裡，我把 B 點畫在了同一條直徑的兩端。這有沒有讓你想到些什麼呢？對！我們還可以借鑑上一篇中「把取點的過程拆開描述」的辦法，讓最後一步是「在直徑上等可能選取端點」。在上一篇中，C 點的地位是與 A、B 不同的，所以單獨用了一步來描述它。而現在，A、B、C 的地位都是相同的，所以只需要用兩步來描述取點的過程：

1。 隨機、均勻地選取三條直徑；

2。 在每條直徑上，分別等可能地選取一個端點作為 A、B、C。

選定直徑後，第 2 步「選取端點」有 8 種取法。上面的圖 3。2 畫出了其中的兩種；把 8 種全部畫出來太麻煩了，我就省略了。重要的問題是：在這 8 種取法中，有幾種會使得以 A、B、C 為極點的半圓弧有交集呢？

觀察圖 3。2 中以 B 為極點的半圓弧。與 OB 垂直的直徑把圓周切成了兩半，以 B 為極點的半圓弧必為其中的一半。同樣，以 A、C 為極點的半圓弧，也必然是與 OA、OC 垂直的直徑把圓周切成的兩半中的一半。把多餘的線都擦掉，只保留與 OA、OB、OC 垂直的三條直徑，如下面的圖 3。3。可以看到，它們把圓周切成了 6 份。其中的每一份，都是三個半圓弧的交集，也就對應著「選取端點」的一種方法。注意這與 6 份的大小無關！

圖 3。3：與 OA、OB、OC 垂直的三條直徑，把圓周分成了 6 份

於是得到：在 8 種選取端點的方法中，有 6 種可以使得以 A、B、C 為極點的三個半圓弧有交集。這 8 種選法是等可能的，所以 A、B、C 位於同一半圓弧上的機率為

。這是一個常數，所以可以免去對第 1 步求期望的步驟，

就是最終答案。

上面研究的是二維空間中 3 個點的情況。首先我們對點數進行推廣。當點數為

時，在

條直徑中選取端點有

種取法。與這些直徑垂直的那些直徑，會把圓周分割成

份，其中每一份對應著一種能使所有點都位於同一個半圓弧上的取法。所以

個點位於同一半圓弧上的機率就是

。你看，我們得到了與第 1 篇中相同的結論！

下面我們往高維推廣。為了避免步子太大扯到蛋，我們先看三維情況。若在球面上選取三個點 A、B、C，則它們位於同一個半球面的充要條件是，以 A、B、C 為極點的三個半球面有交集。如圖 3。4 所示，以 A、B、C 為極點的三個半球面的交集是黑色區域。在此區域內任取一點為極點，作一個半球面，都能把 A、B、C 三點包含在內。

圖 3。4：以 A、B、C 為極點的三個半球面有交集（黑色區域）

仍考慮「兩步取點法」：

1。 隨機、均勻地選取三條直徑；

2。 在每條直徑上，分別等可能地選取一個端點作為 A、B、C。

第 2 步有 8 種取法，其中有幾種能使得三個半球面有交集呢？以 A 為極點的半球面，是與 OA 垂直的大圓面（圖 3。4 中的紅色圓圈所在的平面）把球面切成兩半後的一半。注意，切割球面的是大圓面，不是直徑了！與 OA、OB、OC 分別垂直的三個大圓面（圖 3。4 中紅、綠、藍三個圓圈所在平面）把球面切成的每一塊，就對應著一種能使得三個半球面有交集的取法。三個大圓面會把球面切成 8 塊（不考慮特殊情況），所以球面上的三個點位於同一個半球面的機率為

。

咦？這個機率怎麼等於 1 了？沒有錯嗎？確實沒錯。三點定一面，過球心作一個平面 F 與此面平行，則三點都在平面 F 的同側，當然位於同一個半球面啦。

對點數推廣：在三維空間裡的球面上隨機、均勻地選取

個點，它們位於同一個半球面的機率是多少呢？根據剛才的經驗，這個機率應該是一個分數，它的分母等於

，而分子是

個大圓面把球面切成的塊數。且慢，我先數一下 4 個大圓面把球面切成的塊數：

圖 3。5：4 個大圓面把球面切成了幾塊呢？

好像有點數不清了呢……

更一般地，在

維空間裡的

維超球面上隨機、均勻地選取

個點，它們位於同一個半超球面的機率也是一個分數，其分母等於

，而分子是

個過超球心的

維超平面把超球面切成的塊數。天啊，這怎麼數……

且聽下回分解。

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