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§三角函式&雙曲函式

作者：由柯宇發表于舞蹈時間：2021-10-08

一、橢圓角的定義：

橢圓角

設單位圓

$\odot O$

和過原點直線

交於點

，則記

$\angle ROP=\varphi$

，稱為“橢圓角”。記曲邊三角形

$\triangle ROP$

的面積為

，則有

$\varphi=2S$

二、三角函式的解析幾何定義

1。基本三角函式：

$cos\varphi=x$

，

$sin\varphi =y$

，

$tan\varphi=\frac{y}{x}$

2。其他三角函式：

$sec~\varphi=\frac{1}{cos~\varphi}$

，

$csc~\varphi=\frac{1}{sin~\varphi}$

，

$cot~\varphi =\frac{1}{tan~\varphi}$

3。反三角函式：

$arccos~x=\varphi$

，

$arcsin~y=\varphi$

，

$arctan~\frac{y}{x}=\varphi$

三、三角函式之間的關係

（一）基本三角函式

1。基本關係：

$cos^2\alpha+sin^2\alpha=1$

2。週期公式：

$\sin(\alpha+k\cdot 2\pi)=\sin\alpha$

，

$T=2\pi$

$\cos(\alpha+k\cdot 2\pi)=\cos\alpha$

，

$T=2\pi$

$\tan(\alpha+k\cdot \pi)=\tan\alpha$

，

$T=\pi$

3。對稱公式：

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

，

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

，

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

，

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

，

$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$

4。轉換公式：

$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$

，

$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$

，

$\tan(\frac{\pi}{2}-\varphi)=\cot\varphi$

$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$

，

$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$

，

$\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\cot\alpha$

5。和差公式：

$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin\beta$

$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin\beta$

$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin\beta$

$\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin\beta$

$\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan\beta}{1-\tan \alpha\tan\beta}$

$\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan\beta}{1+\tan \alpha\tan\beta}$

6。倍角公式：

$\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha$

$\cos2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

7。降冪公式

$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$

$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$

8。萬能公式：

$\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}$

$\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

（二）其他三角函式

1。基本關係：

$sec^2\alpha-tan^2\alpha=1$

（三）反三角函式

1。基本關係：

$arccos~\alpha+arcsin~\alpha=\frac{\pi}{2}$

，

$arccot~\alpha+arctan~\alpha=\frac{\pi}{2}$

四、三角函式的其他定義

1。指數定義：

$cos~x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

，

$sin~x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$

2。級數定義：

$cos(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$sin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

五、雙曲角

雙曲角

設單位雙曲線

與過原點直線

交於

，則記

$\angle ROP=\varphi$

，稱“雙曲角”。記曲邊三角形

$\triangle ROP$

的面積為

，則有

$\varphi=2S$

六、雙曲函式的解析幾何定義

1。基本雙曲函式：

$ch~\varphi=x$

，

$sh~\varphi=y$

，

$th~\varphi=\frac{y}{x}$

2。反雙曲函式：

$arcch ~x=\varphi$

，

$arcsh~y=\varphi$

，

$arcth~\frac{y}{x}=\varphi$

六、雙曲函式之間的關係

1。基本關係：

$ch^2\alpha-sh^2\alpha=1$

2。和差公式：

$sh(\alpha+\beta)=sh\alpha ~ch\beta+ch\alpha~sh\beta$

$ch(\alpha+\beta)=ch\alpha~ch\beta+sh\alpha~sh\beta$

$th(\alpha+\beta)=\frac{th \alpha+th\beta}{1+th \alpha~ th\beta}$

3。倍角公式：

$sh2\alpha=2sh\alpha~ ch\alpha$

$ch2\alpha =2ch^2\alpha-1=2sh^2\alpha+1$

$th2\alpha=\frac{th2\alpha}{1+th^2 \alpha}$

4。降冪公式：

$sh^2\alpha=\frac{ch2\alpha-1}{2}$

$ch^2\alpha=\frac{ch2\alpha+1}{2}$

5。萬能公式：

$sh2\alpha=\frac{2th\alpha}{1-th^2\alpha}$

$ch2\alpha=\frac{1+th^2\alpha}{1-th^2\alpha}$

$th2\alpha=\frac{2th\alpha}{1+th^2\alpha}$

七、雙曲函式的其他定義

1。指數定義：

$ch~x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

，

$sh~x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

2。級數定義：

$ch~x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$sh~x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

八、三角函式與雙曲函式的轉化

，

$sin~x=sh(ix)=i\cdot shx$

標簽：三角函式雙曲公式定義函式

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