剛體對軸的轉動慣量與什麼因素有關？

與剛體的質量分佈關係密切

將剛體視為由具有質量

的i個質點組成，

，取

為質點i在動系b中的座標，那麼該剛體的質心就為：

動系b的座標原點一般選在質心處。

如果座標原點不在質心處那麼動系b的座標原點為

，這時其餘質點的位置向量

需要重新計算。

那麼在慣性座標系動系b中，body twist和質點

隨時間變化的位置

，初始位置記為

，就有：

［ ］符號代表斜對稱陣，就有：

記質點

受到的力為

，就有：

將質點的力矩表示為：

那麼wrench就為：

為了便於計算，我們把座標原點選在質心處，同時利用斜對稱陣的性質，對於力就有：

對於力矩，就有：

式中

為剛體的轉動慣量矩陣（rotational inertia matrix），轉動慣量矩陣也是對稱正定的矩陣。

就稱為Euler‘s equation for a rotating rigid body（轉動剛體的尤拉方程）。

這樣，機構具有的轉動動能為：

同樣是對稱正定矩陣，轉動慣量矩陣是一個定值，而質量矩陣會隨著機器人姿態的變化而變化，對轉動慣量矩陣作討論：

利用高等數學的知識就有：

轉動慣量矩陣的特徵向量就表示了剛體的慣性主軸的方向。

如果剛體的密度均勻，那麼它的轉動慣量完全由形狀決定，就有：

常見剛體的轉動慣量

如果慣性主軸和動系b重合，那麼轉動慣量矩陣的非對角項均為0，這樣力矩就表示為：

式中

，可見，如果將座標系建立在主慣性軸上，可以大大簡化運算。