白話影象處理基礎：離散，一階差分，二階差分，偏導差分，拉普拉斯運算元
差分定義廣泛應用在影象處理中。那麼什麼是差分呢？
離散和連續
連續函式：對於我們所認知的函式。定義域和值域都是連續的。比如函式
，影象為
離散函式：對於我們所知道的函式，定義域是不連續的，比如上面的函式
，當x=1，2，3時。影象為紅色的點
當定義域能夠在自然數上取值的時候，那麼這就是一個離散函數了。
差分
假設有一個函式：
，列出幾項
x
f（x）
1
1
2
4
3
9
4
16
那麼差分就表示為前後相鄰的兩個離散函式的差值。
比如定義一個
差分：
。
這種由後一個值-前一個值的差分，表示前向差分，記為
。
那麼後向差分
表示為：
。（
讀作nabla）
中心差分
表示為：
。
這裡我們列出前幾項前向差分：
x
f（x）
前向差分
1
1
3
2
4
5
3
9
7
4
16
9
我們可以看到它是一個等差數列。這個特性可以讓它用在很多電路系統中，求出離散變數的導數。經過一次差分計算叫做一階差分，在一階差分的基礎上再次進行差分，有：
x
f（x）
一階前向差分
二階前向差分
1
1
3
2
2
4
5
2
3
9
7
2
4
16
9
2
可以看到二階（前向）差分是一個常數列。也就是差分的差分，這個和導數求導書的二階導書有異曲同工之妙。
由於差分的這個性質，顯然，我們可以用差分來求影象的邊緣，做邊緣檢測。
多個變數的偏導差分
剛剛介紹和列出的函式都是一個自變數x，如果引申到多變數的情況。我們對x和y兩個變數求偏導，這時候可以把差分看成微分一樣的東西。那我們對x求差分偏導有：
。
由於函式是一個離散函式，x的後向差分為1（2-1=1），所以分母項是1。如果把y也考慮進來。
。
可以看到這是一個後向偏導差分
拉普拉斯運算元
差分反映了離散函式的值的變化，導數和微分反應的是連續函式的值的變化。對灰度圖不同的兩個畫素點進行差分計算，就能夠得到兩個畫素點的變化快慢。變化過快的地方，就是我們理解的邊緣。所以一階差分是可以檢測邊緣的。
但是，如果以上面這張灰度漸變圖為例子，如果用一階差分從左到右的進行計算，那麼可以發現這裡的一階差分一直都會存在，這個和我們的常識是不同的，儘管它有灰度的變化，但是並不是一個邊緣。那麼很容易就想到上面提到的二階差分。沒錯，二階差分常用來做邊緣檢測的，在這種連續的灰度變化圖片中，它的二階差分始終是0。
加入一張影象的函式表現形式為：
。它的一階偏差分為：（其實和偏導是一樣的）
它的二階偏差分為：
![\frac{\delta ^{2}y}{\delta x^{2}} =f(x+1,y)-f(x,y) =f(x+1,y)-f(x,y)-[f(x,y)-f(x-1,y)]=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y) \newline \frac{\delta ^{2}y}{\delta y^{2}}=f(x,y+1)-f(x,y)=f(x,y+1)-f(x,y)-[f(x,y)-f(x,y-1)]=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)](https://img.heatask.com/upload/website_attach/QVyLCWq_olfLW8B0NKGdBV_m-8K1xnQQT=uLAloeF8B3X2W5pyr6NxvNazkthCQ5jkR3NVs-cyhubyClwEvr3VR2=qO3r6Y445=TFlSYwPMMbytszOOukm_9yshL33H4+Wyrg4ccYvPEyCK5whr9h3aM7RT3kEAmk3avO3QLEPL3op1qzOg8Po_DPN43kztGk3Z0wlxKpClMbyzuNNv=8282=hZohCYm-oiB1aTKpCg1wA5Aq7mGk2_DP9j3kEj445PuxXhVcykMXv5A0A70kslMazYmhCZ=jmiBrWNIpPPEy8s5wA=GkxU2nNAMhCZ5-2iBr33KDg5GwRC2F_d0i812=htoNI5Pk3VDg4-6xnh0WnK6zOl3h3WsnBhL3Kj44WPuqXcKDg5QwQv9DNI9h3S5azktklhMAoiG2pQMgnj3oCMGzOh1P2_DPN43kEj2jmiBrWNKp_5mbyyHzOr2Am_DlpF3kztGk3aDx3QLEPnobyyGN5v=2ZR2nNj1hCQ=jmiBrWNKp_5mbyyHU_F0kHCLazZ4PBqQk3Z0g4-7cy55wA5Aq7m0kslMazZtkBhF52iB1kxKpClMbyzuNNYhh3aM7zZohCYm-oiB1aTKpCgoUr-0BqlGAlaKSjAaE6rvCsk5D.jpeg)
上面這個看著有點複雜，簡化一下：
所以，關於函式
的二階差分寫作：（這裡類比二階混合偏導是相等的）
![\bigtriangledown ^{2}f=[f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)]-4f(x,y)](https://img.heatask.com/upload/website_attach/vtkQ3SODNTPQ2R1wnvKE0vbF5DhkPSbZ=+yQ13C-bEok3WgX_bd+0eostvZK2iKFu+kx4UjNvZmXvq2d4x9_7uJOj=rWbLp3AZp-5+pfKVXkOMZUrZ=QsX9iuxm+cjRAjYYI7w8VOVMkOMvirZ=j4ibR8E0WyGoZAZpUtMvbGx8eaieX4edQOXgOjV0WbLwAIsfXyrfSvZ=V3ppIjY2J1=AS=+TW3ov+LgNtpG9d6ckx+.jpeg)
這個就是大名鼎鼎的
拉普拉斯運算元
用畫素表示為下，用中間（圓圈）的上下左右的畫素值的和-4倍的中間畫素值。（圖片來源（13條訊息） Laplace（拉普拉斯）運算元_Sagacity_1125的部落格-CSDN部落格_拉普拉斯運算元，侵刪）
程式碼示例
強大的opencv已經實現了這些傳統運算元了。下面看一下拉普拉斯運算元在影象上的展現。
import cv2
src = cv2。imread（“/home/em/Pictures/images/8。jpg”）
cv2。imshow（“src”，src）
lap = cv2。Laplacian（src， cv2。CV_64F）
img1 = cv2。convertScaleAbs（lap）
cv2。imshow（“lap”，img1）
cv2。waitKey（0）
效果圖
參考
拉普拉斯運算元 - 知乎 （zhihu。com）
（13條訊息） Laplace（拉普拉斯）運算元_Sagacity_1125的部落格-CSDN部落格_拉普拉斯運算元
（13條訊息） 簡單易懂地向你解釋：離散函式，差分，二階差分和 Laplacian 濾波原理_class zl=new ZhanL的部落格-CSDN部落格_離散函式
上一篇:教你如何做“甩手掌櫃”
下一篇：神秘買家，何仙姑
