為什麼“負負得正”？

我們知道有理數的乘法，最重要的就是要向學生講述負負得正這個符號法則，對初學者來說，這頗有一些理解障礙。

19世紀法國著名的作家司湯達，他是《紅與黑》的作者。他在自傳中曾經講述過自己在初中學數學的時候，遇到負負得正的故事。

司湯達有兩個數學老師，一個數學老師就是白天他所就讀的學校裡，他的數學任課老師，另外一個是他晚上去補習學校補習時候的數學老師。白天的時候，司湯達在課堂上，數學老師說：“負負得正是數學上的規定，大家一起背三遍，做題目，不要做錯。”司湯達就問老師：“能為我們解釋一下為什麼負負得正而不能負負得負嗎？”

司湯達這一問老師生氣了。他說：“全班就你最鑽牛角尖，人家學霸考100分也不問為什麼，規定還有為什麼嗎，人家大數學家尤拉天天都算負負得正，他都沒有問為什麼，你還來問我為什麼。”就這樣把司湯達給打發了。司湯達心裡很不服氣。既然是數學上的一個法則，為什麼就不能夠有一個合情合理的解釋呢？到了晚上，司湯達去補習學校又問了他的第二個數學老師，他問：“老師，為什麼負負得正，負負得正如果是規定，它為什麼是合理的？”晚上那個老師顯然態度好多了，讓他從欠債這個角度去理解負數，說我欠你5法郎，那就是負5，你收入5法郎，就是正5，即欠債就是負的，收入就是正的。司湯達說：“老師，這就是我的困惑所在，按你這樣一說，那麼1萬法郎的債務和500法郎的債務乘在一起，那就是500萬的收入了，債務乘債務等於收入，老師你如何解釋？”司湯達這一問這老師差點暈過去，因為這個問題太難了，老師無法解決。

司湯達在自傳裡講到這個故事時，對兩個老師也是非常的不尊重，說其中一個就是無聊的小市民，另外一個就是一個騙子。但是我們的老師給了司湯達尊重的理由了嗎？我們連為什麼負負得正都沒有說清楚。所以司湯達從此對數學失去了興趣。司湯達是一個聰明的孩子，他小的時候，非常喜歡數學。他認為學習數學能讓自己獲得真理，但是，自從負負得正這個法則，老師沒有給出合理的解釋以後，他對數學失去了興趣，所以他長大，轉而去做了作家。

以上是關於負負得正的一個有趣故事。司湯達的困惑該如何解決呢？首先債務和債務相乘是沒有意義的，兩個同樣單位都是錢（法郎），它們乘在一起沒有意義。我們可以類比物理裡面的速度乘時間，改成債務乘以時間就可以解決這個問題。假如我每天欠債100元，那我三天以後欠多少錢？那就是-100乘以3，等於-300元（欠300元）。現在想，我們有若干錢，每天借出去100元，然後3天后0元錢，那麼最初三天前有多少錢呢？那就是-100乘以-3，就是300元。借出100，我們用-100來表示，三天以前我們用-3來表示。-100乘-3就等於300，因為最初我們顯然是有300元。這樣，透過把債務乘以債務轉化為債務乘以時間非常好的解決了當年司湯達的老師無法解決的問題。

當然發揮想象，我們也可以舉吃蘋果，水池注水等例子，甚至我們可以偏哲學一點理解為敵人的敵人是朋友，那不就是負負得正了嗎？

針對以上問題，我們可以進一步思考。我們需要知道數的符號的意義。其實數的符號就是方向，確定了臨界點，大於臨界點約定為正，小於臨界點約定為負；海拔，溫度都是這樣，數軸上約定原點向右為正，向左為負也是如此。符號有方向作用，“+”號是同當前方向，“-”號是與當前方向相反方向。所以+（-）=-，-（-）=+，反向的反向不就等於正向了。

數學概念來自於生活，最初確實有實體物件與概念相對應，但數學概念最終往往會抽離實體物件，進入“形式世界”

。乘法是對加法的縮寫，我們可以說1×3是3個1相加，（-1）×3是3個-1相加，那（-1）×（-3）呢？-3個-1，怎麼理解-3個？其實不應說成-3個，應該說成將原來的量按相反方向重複3次。例如，我們約定向右走一步為+1，向左走一步為-1，（-1）×（-3）就是3個-1的相反方向，即向右走3步。這樣還可以自然得到乘法滿足同號得正的法則，然後就可以定義有理數乘法的運算規則：“同號得正，異號得負，並把絕對值相乘”。當得出運算規則，我們就從實體物件上升到形式世界了，也不會刻意去想，為什麼是這樣，因為我們已能夠感受它的邏輯正確。

數學概念即使能對應實體物件，也不代表它能被證明

。這裡的證明是指從其他公理定義推出它。若一個概念它本身就是定義或公理，則它是不能被證明的。即使你能舉例來類比它，但這卻不是證明。

理解一個概念和定義一個概念是不同的，理解一個概念依託現實實體，而定義一個概念依託“形式世界”

。（關於形式世界的解釋見數學是人類的“發明”還是“發現”？）

數學的運算系統是從自然數開始的。針對這一點數學家克羅內克曾說“

上帝創造了整數，其他一切都是人造的。”

克羅內克

從自然數出發擴充套件到有理數（包括正整數、0、分數及負數），數學向前跨進了一大步。

自然數的乘法可以作為加法的簡便表示，一開始約定：a ×1 = 1 ×a = a，以及a × 0 = 0。

加法與乘法的運算規則：加法的結合律、交換律，乘法的結合律、交換律，以及加乘的分配律，這5個運算定律分別表示為：

a + （b + c） = （a+ b） + c

a + b = b + a

（ab）c = a（bc）

ab= ba

a（b + c） = ab +ac

接著，討論負數的乘法，由於 a+（-a）+ a +（-a）=0，得（-a）+（-a）=-（2a）

即2×（-a）=-（2a）。一般，（-a）× b = -（ab）

同理，可得a × （-b）= -（ab）

但是，（-a）×（-b）= ？ 甚至更簡單情形，（-1）×（-1）= ？

數學家經過很長一段時間才認識到

“負數乘以負數等於正數”是運算規則適配的產物。將乘法分配律應用於負數便會產生“負數乘以負數等於正數”

。

請看，若將乘加分配律用於下式：

0 =（-1）× （1 + （-1））= （-1）×1 + （-1）× （-1）

就必須有：

（-1）×（-1）= 1

另外，我們還可從數軸變換的角度來理解為什麼負負得正。

小學生都知道，自然數可以排列在數軸上。

但很多數學老師都不知道的是，自然數的加法運算，乘法運算可以對應這數軸的變換：

把所有自然數都加2，這時，0變成2，2變成4，4變成6······這相當於把整條數軸向右平移2。

如果把所有自然數都乘以2，那麼0保持不變，2變成4，4變成8······這相當於保持原點不動，把整條數軸像孫悟空的金箍棒一樣，均勻的伸長2倍。

所以，自然數的加法乘法透過數軸，關聯著射線的向右平移變換，伸長變換！

引入負數之後，數軸向另一個方向延申，變成直線。

如果讓所有數都乘以-1，數軸上的點會怎麼變換呢？

1， 2， 3， 4。。。。。乘以-1為什麼會變成-1， -2， -3， -4。。。這個其實是好理解。難理解的是為什麼負負得正？為什麼-1， -2， -3， -4。。。。乘以-1會變1， 2， 3， 4。。。

其實從數軸上看是非常直觀，清晰的，數軸上所有數同時乘以-1，這時

。。。-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。。。

分別變成

。。。4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4。。。

這就相當於整條數軸翻轉180度。

所以可以說負負得正的幾何意義就是數軸180°旋轉變換！

（其實學了虛數知道i²=-1，而i的幾何意義是將數軸旋轉90°，見前面的文章——虛數的意義）

最後，我們便知道：

數的加法運算對應著數軸的平移變換，數的乘法運算對應著數軸的伸縮變換，旋轉變換。

初等階段的數學追求現實實體的依託，而在數學的高等階段追求的是邏輯的自洽。因為數學中的很多規則是找不到實體物件的，是人為定義或由其它規則派生出來的

。例如指數運算。指數運算是對乘法的縮寫，那負指數怎麼理解呢？呃……我們可以理解為是對除法的縮寫，如下：

那分數指數呢？怎麼理解4的三分之二次方？總不能理解為三分之二個4相乘吧。分數指數其實是由指數運算規則派生的，4的三分之二次方的立方是4的平方，所以4的三分之二次方是4的平方的立方根，這樣我們就能讓分數指數有意義。

數學概念的實體物件，也不是唯一的，要解釋負負得正，可以舉出很多例子。

缺少實體物件數學概念會缺乏生動形象，但是數學註定是抽象的

。所以高等數學講概念不會再給你舉例項，因為它已高度抽象化，在邏輯鏈條的層層包裹下形成了融洽的豐富的形式世界。

數學山峰高不可攀，我們需從初等的概念規則出發慢慢前行，從形象生動到抽象複雜，這注定是一場人類思維的挑戰！但這場挑戰從不缺乏參與者，致敬那些數學先驅，致敬數學的“邏輯美”！