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【解題研究】多參絕對值——兩邊夾

作者：由閒敲棋子落燈hua 發表于舞蹈時間：2022-03-10

題：

1。

$\left| {{x^3} + 3\left| {x - a} \right| + b} \right| \leqslant 2$

$\forall x \in \left[ { - 1,1} \right]$

恆成立，求

$\left( {3a + b} \right)$

的取值範圍

2。

$\left| {{x^3} + 3ax + b + 1} \right| \leqslant 1$

$\forall x \in \left[ { - 1,1} \right]$

恆成立，求

$\left( {a + b} \right)$

的取值範圍

3。

$\left| {{x^2} + \left| {x - a} \right| + b} \right| \leqslant \frac{{10}}{9}$

$\forall x \in \left[ { - 1,1} \right]$

恆成立，求

的最大值

1的解：

去絕對值變兩邊夾：

$- {x^3} - 2 \leqslant 3\left| {x - a} \right| + b \leqslant - {x^3} + 2$

可消元表示：令

$k = 3a + b \to b = k - 3a$

即

$- {x^3} - 2 \leqslant \left| {x - a} \right| - 3a + k \leqslant - {x^3} + 2$

即

${f_1}\left( x \right) \leqslant g\left( x \right) + k \leqslant {f_2}\left( x \right)$

於

$\left[ { - 1,1} \right]$

間夾緊

畫圖：

${f_1}\left( x \right) = - {x^3} - 2,{f_2}\left( x \right) = - {x^3} + 2$

$g\left( x \right) = 3\left| {x - a} \right| - 3a$

其中為

絕對值內外函式,其尖端

$\left( {a, - 3a} \right)$

在直線

$y = - 3x$

上跑

參看

總圖：

其需要在

$A\left( { - 1,3} \right),B\left( {1,1} \right)$

下面

為該函式可以上下平移的最大量

當尖端恰好在

$\left( {\frac{1}{3}, - 1} \right)$

時候，

$k = 0$

當尖端在原點

$\left( {0,0} \right)$

時，其距離下邊界函式的距離為

此時

$k = - 2$

故易得

$3a + b = k \in \left[ { - 2,0} \right]$

2的解：

同理代換為

$- {x^3} - 2 \leqslant a\left( {3x - 1} \right) + k \leqslant - {x^3}$

$a\left( {3x - 1} \right)$

表示為過

$x = \frac{1}{3}$

的直線

如圖

做出於

的切線過

$A\left( {1, - 1} \right)$

，於

的切線過

$B\left( { - 1, - 1} \right)$

解得

$C\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{8}} \right),{l_{AC}} = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

——代入

$x = \frac{1}{3}$

解得

$k = y = - \frac{1}{2}$

$D\left( {\frac{1}{2}, - \frac{{15}}{8}} \right),{l_{BD}} = - \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$

——代入

$x = \frac{1}{3}$

解得

$k = y = - 2$

故

$a + b = k \in \left[ { - \frac{1}{2},2} \right]$

3的解：

化作

$- {x^2} - \frac{{10}}{9} \leqslant \left| {x - a} \right| + b \leqslant - {x^2} + \frac{{10}}{9}$

即在

${f_1}\left( x \right) = - {x^2} - \frac{{10}}{9},{f_2}\left( x \right) = - {x^2} + \frac{{10}}{9}$

之間夾著

絕對值函式

$g\left( x \right) = \left| {x - a} \right| + b$

再做出兩線：

$y = - x - \frac{8}{9},y = x - \frac{8}{9}$

再解

$- x - \frac{8}{9} = - {x^2} - \frac{{10}}{9}$

解得

${x_E} = \frac{1}{3},{x_F} = \frac{2}{3}$

從而

${a_{\max }} = {x_E} = \frac{1}{3}$

可見，破解這類問題關鍵抓住

交點,邊界

標簽：絕對值函式尖端解得代入

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