呆哥數學數列合集——通項公式的6種求法型別2【7】

作者：由高考數學呆哥發表于書法時間：2018-12-06

型別2：類等比數列

$\bbox[#EFF,5px,border:2px solid red] {\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(\mathrm{n}) }\\$

方法：累積法

結論：

$\bbox[pink,2pt]{a_{n}=a_{1} f(2) f(3) \ldots f(\mathrm{n}-1) f(\mathrm{n})}$

原型：等比數列

備註：

等比數列是最簡單的類等比數列，

$f(\mathrm{n})$

是一個常數，即公差q。

等比數列推導：

由於

$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q$

，於是有：

$\left.\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q \\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=q \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ \frac{a_{3}}{a_{2}}=q \\ \frac{a_{2}}{a_{1}}=q \\\end{array}\right\}$

個式子，左右累乘得：

$\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \ldots \frac{a_{3}}{a_{2}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=q^{n-1}$

所以有：

$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$

類等比數列推導

：

$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=f(\mathrm{n})$

$\left.\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=f(\mathrm{n}) \\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=f(\mathrm{n}-1) \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \\ \frac{a_{3}}{a_{2}}=f(3) \\ \frac{a_{2}}{a_{1}}=f(2) \end{array}\end{array}\right\} n-1$

個式子，左右相乘得：

$\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \ldots \frac{a_{3}}{a_{2}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=f(2) f(3) \ldots f(\mathrm{n}-1) f(\mathrm{n})$