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二階線性微分方程的解法

作者：由洛都瑤發表于舞蹈時間：2022-03-24

之前總結過一些常見的微分方程的解法，不過並沒有給出相關證明，現在補充如下。

洛都瑤：半小時解決高數上微分方程問題

一.二階常係數線性齊次微分方程：

$y^{"}+py^{$

其對應的特徵方程為：

，有以下三種情況

（1）

$\Delta=p^2-4q>0$

，

$r_{1},r_{2}$

可由求根公式求解

$y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$

（2）

$\Delta=p^2-4q=0$

，

$r_{1}=r_{2}=-\frac{p}{2}$

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}$

（3）

$\Delta=p^2-4q<0$

，設

$r_{1}=a+bi,r_{2}=a-bi$

$y=e^{ax}（C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$

證明如下：

設特徵方程

的特徵根分別是

則由韋達定理可得：

代入微分方程中有：

$y^{"}-(a+b)y^{$

即

$(y^{$

令

$u=y^{$

，則有

$u^{$

該方程為一階線性微分方程

$e^{ix}=isinx+cosx$

易得：

$u=C_{1}e^{ax}$

於是

$y^{$

該方程為一階線性微分方程

代入通解公式：

$y=e^{bx}(C\int e^{(a-b)x}dx+C_2）$

（1）

$a\ne b$

且為實數時，

$y=e^{bx}(\frac{C}{a-b}e^{(a-b)x}+C_{2})$

取

$C_{1}=\frac{C}{a-b}$

即

$y=C_{1}e^{ax}+C_{2}e^{bx}$

（2）

且為實數時，

$y=e^{bx}(C_{1}x+C_2)$

（3）

$a\ne b$

且不為實數時，為了求出該方程的實數解，需要用到尤拉公式：

$e^{ix}=isinx+cosx$

$e^{ax}=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(cos\beta x+isin\beta x)$

$e^{bx}=e^{(\alpha -\beta i)x}=e^{\alpha x}e^{-\beta ix}=e^{\alpha x}(cos\beta x-isin\beta x)$

所以

$y=C_{1}e^{ax}+C_{2}e^{bx}=e^{\alpha x}[(C_{1}+C_{2})cos\beta x+i(C_{1}-C_{2})sin\beta x]$

取

$C_{1}=\frac{1}{2}(C_{1}-iC_{2}),C_{2}=\frac{1}{2}(C_{1}+iC_{2})$

即

$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$

二.二階常係數非齊次方程：

$y^{"}+py^{$

第一步：根據上面結論求出齊次方程的通解

$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$

第二步：求出非齊次方程的一個特解

$y^*=y_{1}\int \frac{f(x)}{(\frac{y_{1}}{y_{2}})^{$

證明如下：

三.二階變係數線性微分方程：

$g(x)y^{"}+p(x)y^{$

第一步：猜根，即猜對應的齊次方程的一個特解

（1）

，則存在一個特解

（2）

，則存在一個特解

$y=e^{kx}$

（3）

，則存在一個特解

（4）

，則存在一個特解

（5）

，則存在一個特解

第二步：利用公式計算齊次方程的另一個特解：

$y_{2}=y_{1}\int \frac{1}{y_{1}^{2}}e^{-\int p(x)dx}dx$

注意：這裡的p(x)要將

$y^{$

前面的係數化為1時的p(x)

證明：

第三步：同上，非齊次方程的特解

$y^*=y_{1}\int \frac{f(x)}{(\frac{y_{1}}{y_{2}})^{$

例題：求微分方程

$（x^2+1)y^{"}-2xy^{$

的通解

標簽：特解齊次微分方程方程實數

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