線性代數再回首之——第六章 線性空間與線性變換

一、線性空間的定義與性質

線性空間與線性運算的定義（定義和、數量乘積的運算，滿足八條運算規律）

二、維數、基與座標

線性空間基與維數的定義（任意向量能由一組線性無關向量表示，向量個數為維數）

座標：基的係數

同構

（相同結構）：n維線性空間V中取一個基，則V中向量與R中n維陣列向量空間的向量之間就有一個一一對應關係，保持線性組合的對應，V與R有相同結構，稱同構；

兩個線性空間若其向量之間有一一對應關係，且這個對應關係保持線性組合的對應，稱為這兩個線性空間同構

——任何n維線性空間都與Rn同構，維數相等的線性空間都同構——

線性空間的結構完全被其維數所決定

三、基變換與座標變換

基變換公式、過渡矩陣與座標變換公式

四、線性變換

集合的對映：

，對於A中任一元素α按照一定規則總有B中一個確定元素β與之對應（一對一或多對一，對映過去要是確定的）

像、原像、像集

線性對映/線性變換

：滿足

，

線性變換T的像集是一個線性空間，稱為T的像空間

核

：使

也是一個線性空間，NT稱為線性變換T的核

如果矩陣是可逆的，則變換是一對一的，一個像就有一個原像，此時像空間與原像空間一樣“大”

，而它的核只包含一個零元素，是個0維空間；

如果矩陣不可逆，設秩為r，則變換是壓縮的

，此時像空間的維數為r，而它的核空間的維數為n-r，一個像就有若干原像（如上述，有某些維度被壓縮沒了，就沒法一一對應的可逆）；一個原像+核空間中任何向量仍然是原像

五、線性變換的矩陣表示式

，A維線性變換T在基

下的矩陣

α到β為兩個基，α到β過渡矩陣P，

中線性變換T在兩個基下的矩陣分別為A和B，則

（對比基變換公式）（

A與B相似，說明不管在那種基下，只要是相同的變換，都是一樣的，只是描述的方式不同，過渡矩陣就是那個相似變換矩陣

）

六、線性空間總結

人為定義一個線性空間，賦予其幾何意義，引出了維度、基與座標的各種概念。線性運算/空間有眾多良好的性質，相同維度的不同線性空間能夠進行相互表示。

集合的對應關係（對映關係）能夠轉化成空間的對應關係，這種對映關係能夠被解釋為一個變換矩陣，這樣就能用矩陣的眾多特性來表示、理解這種對映的關係，將這種對映表達為同一個維度空間下不同線性空間的對映與變換關係。

這就將集合與幾何聯絡起來，而兩者之間的橋樑就是矩陣

。

關於核（零空間）的一些理解。線性變換必須保持原點不變，所以零向量一定會被包含在列空間中。

滿秩

變換，

唯一能在變換後落在原點的向量是零向量本身

。當變換

不滿秩

，變換後從n維被壓縮到n-1維（或更小的維度，以下針對n-1維進行描述），此時就有

一整條直線上的向量（如果壓縮了2個維度就有一整個平面上的向量）在變換後落在原點

（整個被壓縮），

變換後落在原點（零向量）的向量的集合就被稱為零空間或核

。

核就是那些被壓縮的向量

。

根據核空間的定義，即Ax=0下x的解，就能用來求解齊次解，能用來判斷方程的解是否唯一（不唯一則Ax=b可以分解成

特解+齊次解

，其中

齊次解就包含核空間的各個向量

）。

七、參考文獻

［1］ 同濟大學《工程數學線性代數第六版》

［2］ -UP主漢語配音-【線性代數的本質】合集-轉載於3Blue1Brown官方雙語】

https：//www。

bilibili。com/video/BV1i

b411t7YR？from=search&seid=11792830211139877546

［3］ 線性空間的核空間，它的重要性究竟在哪裡？

http：//

muchong。com/html/201508

/9236883。html