力學3：牛頓力學與旋轉

力學3：牛頓力學與旋轉

1. 牛頓三定律

之前我們討論的速度加速度等都是運動本身，但我們並非討論為什麼產生加速度等問題，這就涉及到力。牛頓三定律對其關係做出解釋：

第一定律(慣性定律)：

所有物體都處於靜止或者沿直線的勻速運動狀態，直到外力改變其狀態。

第二定律：

物體的加速度大小跟作用力成正比，和物體的質量成反比

F = ma

（F力m質量 a加速度）

第三定律：

相互作用的兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在同一直線上。

2. 動量

2.1 動量的概念

假設一個人要將一個質量為m的箱子推動，某一時刻我們發現了此時箱子已經動起來了速度是v，但是我們沒有辦法確定知道這個人給箱子的合力F和推箱子的時間t。我們知道箱子從靜止到速度v由加速度公式可以知道 v = a*t。由牛頓第二定律可知 F = m * a 由此可知：

在此我們引入一個新的物理概念動量，無論從以上等式左右兩邊看，動量是個有方向的向量，我們定義：

2.2 動量的含義

由動量推導過程可知：P=F*t=m*v根據現有公式結合微積分的概念我們有以下推導

注：由最終的積分公式我們很容易看的出來動量是隨時間持續施力的結果。由於積分是微分的逆運算，故有以下結論，力是動量的變化率：

2.3 動量守恆定律

由以上動量相關公式我們能看出動量只跟力和時間相關。進而推斷出一個定律：

動量守恆定律： 一個系統不受外力或者受到的外力之和為零，這個系統的總動量保持不變。

3. 衝力和碰撞

3.1 概念

在現實世界或者遊戲中，我們經常遇到碰撞的情況，接下來我們就用動量以及動量守恆的知識瞭解碰撞。假設有兩個物體發生碰撞，質量分別為m1，m2，速度分別為v1，v2（v是向量，帶方向的）。將這兩個物體看做一個系統，用動量守恆可知碰撞前後的動量是一致的： P = m1*v1+m2*v2 = m1*v3+m2*v4（v3，v4為碰撞後速度） 一般常見的碰撞有兩種型別，一種是非彈性碰撞（碰撞後兩物體融合（連結在一起））另一種是彈性碰撞（碰撞發生後兩物體又彼此分開）

3.2 完美非彈性碰撞

非彈性碰撞發生後兩個物體一起朝某一相同方向移動

。

因此v3，v4是一致的，這樣就很容易可以計算出碰撞後的速度，由動量守恆可知碰撞後速度 = （m1*v1+m2*v2）/（m1+m2）

3.3 完美彈性碰撞

當兩物體發生碰撞後又彈開，由牛頓第一第三定律可知碰撞時兩物體分別收到了大小相等方向相反的兩個力，由衝量定義可以知道其收到的衝量也是大小相等，方向相反。因此m1*v3 - m1*v1 = - （m2*v4 - m2*v2）。 由這兩個方程構成方程組可以算出碰撞後的兩個物體速度。

4. 旋轉力學

4.1 概念

之前的所有運動模擬都是直線的，在此我們下旋轉。旋轉的角速度可以用以下公式表示，其中w是旋轉的角速度，n是平行於旋轉軸的單位向量位向量且穿過旋轉中心：

4.2 力與旋轉

假設從任意方向給一個質量為m固定在距離圓形r距離的小球一個力，如下圖

我們知道真正對推動旋轉有作用的是垂直於r方向的分力： F⊥ = F*sinφ我們考慮先角速度ω半徑r與線速度v的關係透過積分我們很容易得出v⊥ = r*ω 由此我們可知： a⊥ = r * aω 所以角速度的加速度aω = a⊥/r 我們很容易法線影響角速度和角加速度的因素只有力F力的角度和半徑r。由此我們引入力矩的概念：

注：力的夾角是指力的方向與半徑到作用點之間的夾角

5. 總結

牛頓三定律簡單來說就是： 慣性定律(要改變預設狀態需要力)，F=m*a, 作用力和反作用力是相互的

動量P = F*t = m * v

動量守恆定律： 一個系統不受外力或者受到的外力之和為零，這個系統的總動量保持不變。

影響想轉的是力矩，力矩 = F * l * sinα