高等數學——推導牛頓萊布尼茨定積分公式

作者：由梁唐發表于舞蹈時間：2020-04-24

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今天是

高等數學專題的第13篇

文章，我們來看看定積分究竟應該怎麼計算。

定積分的實際意義

透過之前的文章，我們基本上熟悉了定積分這個概念和它的一些簡單性質，今天終於到了正題，我們要試著來算一算這個積分了。

我們先來回憶一下對定積分的直觀感受，它可以代表一段曲形面積，比如：

如果我們把上圖當中的f（x）看成是

速度函式

，

x軸看成是時間

，那麼f（x）就表示時刻x時物體運動的速度。那麼我們把所有瞬時移動的距離累加，就得到了物體在某個時間段內的

位移向量

，而這個位移長度恰好就是我們曲形的面積。我們把定積分和物理上的位移進行掛鉤之後，很容易得出一個結論，在物理學上，一個物體發生的位移和時間也是一一對映的關係，所以這也是一個函式。

有了這個結論之後，我們就可以做一個假設，假設一個函式s（t）滿足：

$s(t) = \int_a^t f(t)dt \\$

其中的a是一個定值，我們可以認為是

位移發生的起始時刻

，s（t）就是物體位移和時間的函式。所以a到b這段時間內發生的位移就等於

$s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt$

。

計算推導

當我們把定積分和物理位移掛鉤的時候，我們距離求解它已經很接近了。

根據物理上的定義，物體的運動速度其實就等於位置向量隨時間的變化率，雖然不夠嚴謹，但其實這是一個微分量，可以近似

看成是位移函式的導數

。當然這個只是直觀的認識，我們還需要用嚴謹的數學語言來表達。

我們假設f（x）函式在區間［a， b］上連續，並且

$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)$

，我們試著證明

$\Phi$

。

我們取一個絕對值足夠小的

$\Delta x$

，使得

$x + \Delta x \in (a, b)$

，那麼：

$\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt \\$

我們用它減去

$\Phi(x)$

，得到：

$\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned} \\$

根據我們積分中值定理，可以得到，存在

$\xi \in (x, x+\Delta x)$

，使得：

$\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned} \\$

由於f（x）在［a， b］上連續，並且

$\Delta x\to 0$

，所以

$\xi \to x$

，因此

$\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)$

，進一步就證明了

$\Phi(x)$

的導數存在，並且：

$\Phi$

到這裡已經距離我們的目標非常接近了，只差最後一步。這最重要的一步有兩個數學大牛對它宣告主權，一個是牛頓，另一個是萊布尼茨。這也是數學界一樁非常出名的公案，這背後的故事背景非常複雜，屬於典型的公說公有理婆說婆有理的橋段。有一部著名的紀錄片叫做《

一部微積分的恩怨史

》講的就是這一段故事，感興趣的同學可以去B站圍觀一下。

為了避免引戰，很多課本上都把它叫做牛頓-萊布尼茨公式，用兩個人的名字共同命名。

牛頓-萊布尼茨公式

根據原函式的定義，從上面的結論當中我們可以得到

$\Phi(x)$

是函式

在［a， b］上的一個

原函式

。我們假設F（x）也是f（x）的一個原函式，所以我們可以知道

$F(x) - \Phi(x) = C$

，這裡的C是一個常數。

令x = a，那麼可以得到

$F(a) - \Phi(a) = C$

，根據

$\Phi(x)$

的定義，我們可以知道

$\Phi(a) = 0$

，所以

，並且

$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$

，代入可以得到：

$\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned} \\$

我們把b代入，可以得到

$\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)$

，這個式子就是牛頓萊布尼茨公式。

我們回顧一下上面的推導過程，難度並不大，但是幾個

代換處理非常巧妙

，不然的話即使我們可以得到結論，也並不嚴謹。

總結

有了定積分的計算公式之後，很多我們之前無法解決的問題就都可以解決了，由此奠定了整個微積分的基礎，不僅推動了數學的發展，也帶動了理工科幾乎所有的學科。在各大理工學科之中幾乎都有

用到微積分進行一些複雜的計算

，即使是看起來和數學不那麼相關的計算機領域也不例外，這也是大學裡為什麼給所有理工科的學生開設了這門課的原因。

但遺憾的是，在我們學習的時候往往很難預見它的重要性，然而當我們預見這一點的時候，往往已經是很多年之後，沒有那樣的環境和時間給我們去好好學習了。

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標簽：我們位移積分函式可以

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