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力學要點(三)：動量與角動量

作者：由薛德堡發表于舞蹈時間：2021-04-03

衝量：描述力對

質點

在時間上的積累作用，即

$\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt$

微分形式的定義為

$d\vec{I}=\vec{F}dt$

由此式，代入牛頓第二定律

$\vec{F}=m\vec{v}$

，並定義

動量

$\vec{p}=m\vec{v}$

，可得動量定理微分形式

$d\vec{I}=d\vec{p}$

積分可得動量定理的積分形式

$\vec{I}=\vec{p}_2-\vec{p}_1$

即：物體所受合外力的衝量等於該物體的動量的增量。

上述所有的式子都可以按照分量形式來寫。

系統如果不受外力作用，則

動量守恆

，即當

$\vec{F}=0$

時，

$\vec{P}=$

常向量，

由於力的作用具有獨立性，因此某個方向上如果合外力為零，則該方向上的動量守恆。

注意：動量守恆是指任意時刻動量都不變，它的條件是合力為零，不是合力的衝量為零，後者只能保證前後兩個時刻動量相等。

離散分佈的質點構成的體系的

質心

$\vec{r}_c=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}m_i\vec{r}_i}{m}$

連續分佈的質點構成的體系的質心

$\vec{r}_c=\frac{\int\vec{r}dm}{m}$

質心運動定理：質點系所受合外力等於其總質量乘以質心的加速度，即

$\vec{F}=m\vec{a}_c$

質心參考系：以

質點系

的質心為參考點的參考系

在

質心繫

中，質點系的動量為零，因為質心的位矢為零，體系的總體速度為零，但是體系的動能不一定為零。

定義質點的位矢

$\vec{r}$

與動量

$\vec{p}$

的矢積為質點對參考點的

角動量

$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

根據矢積的定義，

$L=|\vec{L}|=rp\cdot sin\theta$

當

$\vec{r}$

和

$\vec{p}$

中有一個為零，或者兩者在一條直線上，則角動量為零。

例如沿著徑向移動的質點，對原點的角動量為零。

勻速直線運動

的質點，角動量為恆量，因為

$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt}+\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}$

勻速直線運動，動量守恆，因此右邊第一項為零，而第二項中的

$d\vec{r}/dt=\vec{v}$

與

$\vec{p}$

為同向向量，故矢積為零，因此

$\vec{L}=$

常向量。

質點所受合外力對參考點構成的力矩為

$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$

可以證明，

$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}$

據此得到

$\vec{M}dt=d\vec{L}$

這就是角動量定理的微分形式，即：合外力的力矩對時間的積累等於角動量的增量，定義衝量矩的微分形式為

$d\vec{I}=\vec{M}dt$

，積分形式為

$\vec{I}=\int \vec{M}dt$

因為內力的力矩之和為零，故質點系的角動量與內力無關。

當外力的力矩為零時，外力矩的衝量矩時刻都為零，故角動量保持不變，這就是角動量守恆定律，即當

$\vec{M}=0$

時，

$\vec{L}=$

常向量。

根據

$\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}$

，當不受力時，就不受力矩，則

角動量守恆

；更常見的情況是：

$\vec{r}\parallel\vec{F}\to\vec{M}=0$

。例如，力始終沿著徑向，則對轉動中心不形成力矩，例如行星繞某恆星運動時，它所受到的引力始終指向該恆星，是一個有心力，它的角動量保持不變。

生活中有很多角動量近似

守恆

的例子，例如丟出去的錘子（危險）會在空中不斷翻轉。水平丟擲的標槍，能保持平直飛行，芭蕾舞表演者收攏她的的四肢時，轉速加快，這些現象的背後都是角動量守恆在起作用。不過若你在樓上落下一個

紙團

，它下落時會不斷旋轉，這是什麼原因呢？

再說說宇宙中的天體的自轉現象，為什麼所有的天體——

恆星

和行星都在不同程度的繞軸旋轉呢？

在幾十億年前，在宇宙廣袤的空間中，不同密度的氣體和塵埃物在移動。由於某種原因（比如超新星爆發），一些星際氣體和塵埃逐漸在某處聚集，經過漫長的時間，逐漸形成一個引力的中心，它不斷吸引更多的氣體和塵埃聚集。

這些氣體塵埃在被吸引過來的時候，大多是半路被截胡的，並非一心一意直奔正中心而來，因此必然存在角動量，這個角動量也是它送給這個未來天體的見面禮，每個塵埃都毫不吝嗇的傾其所有奉獻了它的角動量，並被保留下來。而四面八方的飛來禮物又不大可能是剛好對稱分佈的，最終就導致了這個氣體和塵埃聚集而成的巨大的稀薄星雲團輕微的轉動起來。

隨著來自中心引力的作用，這個星雲團的體積逐漸縮小，根據角動量守恆，它的轉速必然加快，最終導致形成的較高密度的天體整體的

自轉

現象。

這就是為什麼天體都在自轉的原因。

標簽：角動量動量守恆質點質心

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