用有理數 a 和 b 接近實數 c，使 a > c > b，如何證明 a - b 可以為任意小？
HENG2020-07-18 18:58:20由於有理數集中四則運算封閉，a和b的平均值仍然是有理數。不難發現透過取平均值，你能構造自己想要的數列來逼近實數。但請注意，此處的本質在於有理數集對四則運算封閉，平均數僅僅是一個表象。
相關內容可以參考高等代數中對數域的講解。
能看出題主並不熟悉有理數集（域）的性質。盲猜一下，題主是不是剛開始學微積分的高中畢業生？
陳嘉熙2020-07-23 08:51:20實數的定義不就是戴德金分割嗎
那c-b就可以任意小
然後再定義個“戴德金‘分割”，a-c也可以任意小
beanandbean2020-07-31 08:58:37其實這道題完全不用從“知道一個大的區間，怎麼劃分出一個小的區間“這個角度切入，因為就算有這麼一個劃分方法，比如說每次將大的區間對半劃分，要想證明這樣的策略可以在有限次迭代內構造出任意小的區間依然需要我們後面將要提及的
阿基米德公理
，所以還不如用該公理直接構造出小於給定大小的、包括實數
的區間。
那麼，我們開始：
阿基米德公理
作為與這道題最為相關的實數性質，其表述為：給定一個實數
，必定存在一個整數
。需要注意的是，雖然名字中帶有公理，該陳述並不是實數公理體系的一條，而是實數完備性公理（即有上界的實數集必有最小上界）的直接推論，證明過程基本出現於每一本本科數學分析基礎教材中，被稱作公理純粹是沿用現代實數理論建立之前的稱法。（其實在英文中，已經傾向於將之稱為一條“性質” “property”）
阿基米德公理最常用的推論是：如果給定一個正實數
，由於
顯然也是正實數，我們可以找到正整數
，也就是有
，其中
明顯為有理數。換句話說，對於任意給定的正實數，我們一定可以找到一個小於它的正有理數。
現在，假設我們想說明存在一個包括
的區間，其大小小於正實數
，那麼我們即可以先利用阿基米德公理，說明存在正有理數
。接下來，用
這些點將所有實數
分割為可數多段。因為
所以給定的實數
必然要麼正好落在某個端點上，要麼落在某個區間
中。若
正好落在端點上，那麼
本身就是有理數，
自然就是一個長度為
的、包括
的區間；若
落在某個區間中，那麼我們也有
是一個長度為
的、包括
的區間。因此證畢。
其實來說，從無限小數的角度，寫出
的小數表示並擷取其中有限長度的部分來逼近
，和上述證法也是異曲同工的，只不過比起用任意小於給定長度
的正有理數
去對實數進行分割，小數證法相當於是額外要求了每一段的長度總是表示為
，其中
為某個自然數。基於劃分更大的區間為更小的區間的方法其實根源上也同理，比如我們每次將前一次的區間對半劃分，然後選出其中包含
的那一個，相當於每次獲得的新區間的大小為
。這裡，不管是
還是
，要想證明存在
滿足這個長度小於給定的實數
，也就是說需要滿足
和
，我們最常見的做法依舊是找到正整數
，則自然有
——還是透過阿基米德公理。
最後，順帶一提，用無窮小數來解答這道題和每次將前一次的區間一分為二來解答的方法其實沒有本質區別：如果我們從
開始（其中
表示對
進行下取整的結果，即小於等於
的最大整數），每次對半劃分，其實就相當於是在寫出
在二進位制下的小數表示；反之，如果我們每次都將原區間劃分成相等長度的
份，然後選出包含
的那一份，這其實也和寫出
的（十進位制）小數表示沒有區別。
李悅2020-07-31 12:49:42對任意給定的a-b，有d=（a+b）/2，使得，a>c>d，或d>c>b成立。
有a-d=（a-b）/2或d-b=（a-b）/2
Striker2020-08-01 12:10:28二分逼近：任取有理數a，b使得a>c>b，考慮d=（a+b）/2仍為有理數，如果c>d，就用區間［d，a］取代［b，a］，否則用［b，d］，這樣區間長度就小了一半，重複以上操作就能讓區間長度任意小
