五、機器人運動控制演算法——拉格朗日方法動力學分析

第四章使用牛頓尤拉法對動力學進行分析，更加直觀地理解機器人運動原理，但是太複雜，因此本文介紹第二種動力學分析的方法——拉格朗日方法。拉格朗日方程在分析力學有著十分重要的地位。在分析之前，我們需要知道什麼是拉格朗日方程，它是怎麼來的。

第1小節 拉格朗日方程的由來

在經典力學中我們知道若要知道物體的運動，需要選取牛頓第一定律成立的慣性參考系，然後對物體利用牛頓第二定律列寫微分方程組，若要解這個微分方程組，需要新增相應的約束。說白了，就是建立質點系平衡條件。那我們能不能進一步的推導，將約束條件與微分方程放在同一個公式中？建立一個與牛頓體系不同的平衡條件呢？事情的開始是從達朗貝爾原理說起。

質點的達朗貝爾原理：作用在質點上的主動力、約束力與虛加的慣性力在形式上組成平衡力。

質點系的達朗貝爾原理：質點系中每個質點上作用的主動力、約束力與慣性力在形式上組成平衡力系。

說的通俗一點就是將慣性引起的力也要受力分析，但這個力並不是真正意義上的力，只是在形式上可以看作力。

接下來再介紹虛位移原理，介紹之前先解釋一下虛位移：

在給定位置上質點或質點系在約束所容許的條件下可能發生的任何無限小位移，稱為質點或質點系的虛位移。

這個概念中有幾處不好理解的地方：

（1）約束所容許的條件：不能破壞系統約束的條件。

（2）可能發生：這個是假象的，與時間無關

（3）無限小：即不改變系統的狀態（位置、速度、加速度等其他物理量）。

虛位移原理：

具有雙面、穩定、理想約束的質點系，在給定位置平衡的必要與充分條件是：所有作用於質點系的主動力在質點的任何虛位移中的虛功之和等於零。

對於任意的物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合為零。

現假設一粒子

的位置

為廣義座標

的函式，即

所受外力為

，其虛位移為

帶入虛位移原理的公式中

公式1

令

則公式1變為

公式2

由於

則

因為

因此

又因為

因此

令

則

因此

然後帶入公式2中得

因此

這就是基本形式的拉格朗日方程，又叫做第二類拉格朗日方程。

為保證正確，拉格朗日方程我又自己從頭到尾推導了一遍，實在太消耗精力了，請各位小夥伴不要急躁，若有錯誤或不明白的地方，請各位小夥伴們在評論區寫出來。

第2小節 拉格朗日方法對機器人進行動力學分析

牛頓方法分析動力學時在分析的過程中可以知道所有連桿生成運動的方向以及大小，雖然這個是優點，但缺點也顯而易見，分析太過複雜，若系統複雜，出錯的機會就會大大提高；而拉格朗日方法分析動力學是以能量的角度來看待系統的，但兩者分析的結果卻是相同的。

對於連桿而言，其動能包含連桿質心的動能以及繞質心旋轉的動能兩部分，即

上面的公式是一個連桿的動能，所有連桿的動能為

這個動能是一個關於角度與角速度的函式，如果表示成矩陣的話，如下公式（其中的M是質量矩陣）

除了動能外還需要考慮勢能，第i連桿的勢能表示為，

其中後面一個引數可以看作是重力的校正，這一項對後續的計算是沒有影響的，和動能是相似的，所有杆件的總的勢能表示為

但是這個總的勢能只和關節變數有關，即

根據動能與勢能的表示式，可以獲得T的表示式，即

則機器人的運動方程為

題外話：終於畢業了，今年真不容易啊（我哭）。接下來就要進入正常的更新階段了，1-2周更新一次，可能有點慢請各位小夥伴們諒解哈。