您當前的位置：首頁 > 舞蹈

在一平面內，任意一個圓內的點與圓外的點（不含邊界）數量是否相等（是否等勢）？

作者：由 dhchen 發表于舞蹈時間：2018-11-10

謝邀，首先的確是等勢。但是，你的理解有點問題，你這樣轉換成極座標下看，你會多算了0點那個點，因為在任意角度下原點

點都對應那個

中的

。

一個比較好的思路是這樣的，設

是單位開圓盤（也就是單位圓的內部）而

$\overline{D}$

表示的是包括邊界的圓盤，我們構造一個雙射

$f:D\to D\backslash O$

也就是說這個雙射保證了開圓盤

和它挖掉一點

是等勢的。然後我們構造雙射

$D\backslash O\to \mathbb{R}^2\backslash \overline{D}$

，它能把

$D\backslash O$

和

$\mathbb{R}^2\backslash \overline{D}$

相互聯絡。這時候，你可以轉換成極座標了，因為你挖掉了原點。此時

$D\backslash O=[0,2\pi)\times(0,1)$

而

$\mathbb{R}^2\backslash \overline{D}=[0,2\pi)\times(1,+\infty)$

。所以就是

本質上就是構造一個

到

$(1,+\infty)$

的雙射

，這是非常簡單的。

對於第一個問題，我們這樣建構函式

，它滿足（在歐式座標系下）

，

，以此類推

$f((\frac{1}{n},0))=(\frac{1}{n+1},0)$

，其餘的點都不變。這樣的函式就是在一個雙射

$f:D\to D\backslash O$

了。

然後是

了，這個函式的構造方法就很多了，最簡單的是：

$h_0=\frac{1}{x}$

。

綜合上面的思路你就能構造出這個雙射了，當然了，你如果學過Cantor-Schröder-Bernstein定理，那麼不直接構造這個函式也能證明這個結果。

至於等勢是否就是「嚴格相等」，那得看你腦海中的「相等」到底是什麼？看你如何定義了，嚴格說這不是數學問題了，是哲學問題了（笑）。但是，圓內和圓外的「拓撲」結構是不一樣的。一般來說，數學喜歡用兩個空間間能否存在一個具備「某種特性」的雙射來定義它們是否「等價」。我剛剛說它們的拓撲結構不同是指不存在一個從

到

$\mathbb{R}^2\backslash \overline{D}$

連續雙射（逆也是連續的）。

標簽：雙射構造圓盤一個雙極座標

上一篇:抗凝藥物知多少

下一篇：使用網路分析儀測量直流-直流轉換器和電路板供電電路 (PDN)

猜你喜歡