72道積分題略詳解析（21-30）

作者：由秋分丿發表于文化時間：2019-08-17

原文章：

湖心亭看雪：這72道積分題目會積了，絕對是高高手~~

系列：

秋分乀：72道積分題略詳解析（1-20）

秋分乀：72道積分題略詳解析（31-50）

秋分乀：72道積分題略詳解析（51-72）

正文

21、

$\int \cos^3x\text{d}x$

$\begin{align} \text{原式}&=\int \cos^2x\text{d}(\sin x)\\[2ex] &=\int \left(1-\sin^2x\right)\text{d}(\sin x)\\[2ex] &=\sin x-\frac{1}{3}\sin^3x+C \end{align}$

注：此題是拿出

$\cos x$

與

$\text{d}x$

結合成

$\text{d}(\sin x)$

。然後將剩下的

$\cos^2x\$

化為

$1-\sin^2x\$

，便可積。

22、

$\int \sin^4x\text{d}x$

$\begin{align} \text{原式}&=\int \left(\frac{1-\cos{2x}}{2}\right)^2\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{4}\int \left(1-2\cos 2x+\cos^22x\right)\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{4}\int\left[1-2\cos 2x+\frac{1}{2}(1+\cos{4x})\right]\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{4}\left[x-\sin{2x}+\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4}\sin{4x}\right)\right]+C\\[2ex] &=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin{2x}+\frac{1}{32}\sin{4x}+C \end{align}$

注：此題與前幾題不同，原因是這一題是偶數次。對於此型別的題目，降次即可。

23、

$\int \sin^2x\cos^5x\text{d}x$

$\begin{align} \text{原式}&=\int\sin^2x\cos^4x\text{d}(\sin x)\\[2ex] &=\int\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)^2\text{d}(\sin x)\\[2ex] &=\int\left(\sin^2x-2\sin^4x+\sin^6x\right)\text{d}(\sin x)\\[2ex] &=\frac{1}{3}\sin^3x-\frac{2}{5}\sin^5x+\frac{1}{7}\sin^7x+C \end{align}$

注：前面也說了，此題與題19、20、21同類型。

$\int \sin^{2n+1}x\cos^{2n}x\text{d}x$

或者

$\int \cos^{2n+1}\sin^{2n}\text{d}x$

其特徵就是“總”次數為奇次項。將此奇次項分開一個，與

$\text{d}x$

結合成

$\text{d}(\sin x)$

或者

$\text{d}(\cos x)$

。剩下的皆為偶次。接下來化為和微分一樣的同函式即可積。這一型別的題都是簡單的。

24、

$\int \sec x\text{d}x$

1）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \sec x\cdot\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}\text{d}x\\[2ex] &=\int \frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\text{d}x\\[2ex] \end{align}$

注意

$(\sec^2x+\sec x\tan x)\text{d}x=\mathrm{d}(\sec x+\tan x)$

$\begin{align} \text{原式}&=\int \frac{1}{\sec x+\tan x}\text{d}(\sec x+\tan x)\\[2ex] &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{align}$

2）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}x=\int \frac{\cos x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{1-\sin^2x}\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right)\mathrm{d}(\sin x)\\[2ex] &=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C \end{align}$

注：兩種方法皆可。但在國內的教材裡面後者為主，並且也可以看成前一題所述的方法的運用，並且在後面還會有這樣的運用。方法一在《托馬斯微積分》有出現。看上去方法更妙，結論更簡潔。這兩個結果的互化是很簡單的，在此就不展開了。除此之外，還可以用

$\tan {\frac{x}{2}}$

的代換。

另外，這個積分公式很重要，和

$\int \csc x\mathrm{d}x$

一起甚至是可以放入基本積分表的。

25、

$\int \sec^3x\tan^5x\text{d}x$

1）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \sec^2x\tan^4x\cdot\sec x\tan x\text{d}x\\[2ex] &=\int \sec^2x(\sec^2x-1)^2\text{d}(\sec x)\\[2ex] &=\int(\sec^6x-2\sec^4x+\sec^2x)\text{d}(\sec x)\\[2ex] &=\frac{1}{7}\sec^7x-\frac{2}{5}\sec^5 x+\frac{1}{3}\sec^3x+C \end{align}$

2）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \frac{\sin^5x}{\cos^8x}\text{d}x\\[2ex] &=-\int\frac{(1-\cos^2x)^2}{\cos^8x}\text{d}(\cos x)\\[2ex] &=\int \left(-\cos^{-8}x+2\cos^{-6}x-\cos^{-4}x\right)\text{d}(\cos x)\\[2ex] &=\frac{1}{7}\sec^7x-\frac{2}{5}\sec^5x+\frac{1}{3}\sec^3x+C \end{align}$

注：此題與下一題為同一型別（也有一點點不同），但先在此說明了。方法二還是前面說的方法型別：奇次的正餘弦函式，所以可以化為

$f(\sin x)g(\cos x)$

的形式，以題23的方法求解即可。

重點是方法一，提出

$\sec x\tan x$

與

$\text{d}x$

化為

$\text{d}(\sec x)$

接下來將

$f(\tan x)$

化為

$g(\sec x)$

即可。

這是

$\int \tan^{2n+1}x\sec^{m}\text{d}x$

型別的題目，其要點是

$\tan$

為奇數次，而

$\sec$

無限制。

$\tan^{2n+1}$

和

$\sec^{m}$

各提出一個，與

$\text{d}x$

結合成

$\text{d}(\sec x)$

。剩下的

$\sec^{m-1}$

無影響，

$\tan^{2n}$

恰好為偶數次，則易用

$1+\tan^2x=\sec^2x$

化為全為

$\sec$

函式的形式。便可容易積分。所以其特點是

$\tan x$

為奇次。

26、

$\int \tan^5x\sec^4x\text{d}x$

1）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \tan^4x\sec^3x\cdot\sec x\tan x\text{d}x\\[2ex] &=\int(\sec^2x-1)^2\sec^3x\text{d}(\sec x)\\[2ex] &=\int(\sec^7x-2\sec^5x+\sec^3x)\text{d}(\sec x)\\[2ex] &=\frac{1}{8}\sec^8x-\frac{1}{3}\sec^6x+\frac{1}{4}\sec^4x+C \end{align}$

2）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int \tan^5x\sec^2x\cdot\sec^2x\text{d}x\\[2ex] &=\int \tan^5x(1+\tan^2x)\text{d}(\tan x)\\[2ex] &=\int (\tan^5x+\tan^7x)\text{d}(\tan x)\\[2ex] &=\frac{1}{6}\tan^6x+\frac{1}{8}\tan^8x+C \end{align}$

3）、

$\begin{align}\ \text{原式}&=\int \frac{\sin^5x}{\cos^9x}\text{d}x\\[2ex] &=-\int \frac{\sin^4x}{\cos^9x}\text{d}(\cos x)\\[2ex] &=-\int \frac{(1-\cos^2x)^2}{\cos^9x}\text{d}(\cos x)\\[2ex] &=\int (-\cos^{-9}x+2\cos^{-7}x-\cos^{-5}x)\text{d}(\cos x)\\[2ex] &=\frac{1}{8}\sec^8x-\frac{1}{3}\sec^6x+\frac14\sec^4x+C \end{align}$

注：可以看出由於

$\tan x$

為奇次，此題亦可用上面的方法求解。它們分別為方法一和方法三，不再多言。

重點是方法二，在此提出

$\sec^2x\text{d}x$

化為

$\text{d}(\tan x)$

，剩下的

$\sec^2x$

恰為偶次，可以化為

$\tan x$

的形式。

此為

$\int \tan^mx\sec^{2n}x\text{d}x$

的型別。其要點是

$\sec$

為偶數次，

$\tan$

次數無限制。

$\sec^{2n}$

提出

$\sec^2x$

與

$\text{d}x$

結合為

$\text{d}(\tan x )$

。剩下的

$\sec^{2n-2}$

也為偶數次，則可以化為全為

$\tan$

函式的形式。所以其特點為：

$\sec$

為偶次。

27、

$\int \frac{\ln(\tan x)}{\sin x\cos x}\text{d}x$

1）、設

$u=\tan x$

則

$\text{d}u=\sec^2x\text{d}x$

$\begin{align} \text{原式}&=\int \frac{\ln u}{\sin x\cos x}\text{d}x=\int \frac{\ln u\sec^2x}{\frac{\sin x}{\cos x}}\text{d}x=\int \frac{\ln u\sec^2x}{\tan x}\text{d}x=\int \frac{\ln u}{u}\text{d}u \end{align}$

到這裡和很前面的換元題一樣很簡單了：設

$v=\ln u$

則

$\text{d}v=\frac{1}{u}\text{d}u$

$\begin{align} \text{原式}=\int v\text{d}v&=\frac{1}{2}v^2+C\\[2ex] &=\frac{1}{2}\ln^2u+C\\[2ex] &=\frac{1}{2}\ln^2(\tan x)+C \end{align}$

2）、注意到：

$\frac{\text{d}x}{\sin x\cos x}=\text{d}\left[\ln(\tan x)\right]$

$\text{原式}=\int \ln(\tan x)\text{d}\left[\ln(\tan x)\right]=\frac{1}{2}\ln^2(\tan x)+C$

注：此題為後面一大堆奇怪型別的開端，在此將之分為：

1、奇怪的複合函式型別。比如：此題、還有題31、32、59、60、68。對於此直接替換內層函式。此題替換

$u=\tan x$

即可，替換之後剩下的就很簡單了。

2、巧妙替換

$\text{d}x$

型。即：將積分視作

$\int f(x)g(x)\text{d}x$

，觀察是否有

$g(x)\text{d}x=\text{d}[f(x)]$

，有則化為

$\int f(x)\text{d}[f(x)]$

的形式。如：此題、還有題31、32、35、60、68。或者“退而求其次”，如：題55、61、65。為什麼叫“退而求其次”？到了這三題就知道了（霧）。對於這一題來說，觀察到分子的微分恰好就是剩下的東西，那麼就是這樣了。需要注意的是，

這並不是拆開分子和分母

！

一般來說，1）與2）是統一的，即都能比較簡單的操作得到結果（雖然方法二看上去會難以想想到一點，但是按照上面的方法思考的話它也是顯而易見的）。但是題35卻並非如此，在那一題再說明。

28、

$\int \cos{3x}\cos{2x}\text{d}x$

1）、積化和差

$\begin{align} \text{原式}&=\frac{1}{2}\int(\cos x+\cos{5x})\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{10}\sin {5x}+C \end{align}$

2）、（半個）列表積分法

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\downarrow$

$\begin{align} \cos 3x \ (1)\\[2ex] -3\sin {3x} \ (2)\\[2ex] -9\cos{3x} \ (3) \end{align}$

（空格空格）

$\begin{align} &(a)\cos{2x}\\[2ex] &(b)\frac{1}{2}\sin{2x}\\[2ex] &(c)-\frac{1}{4}\cos{2x} \end{align}$

$\downarrow \int$

$\begin{align} \int \cos{3x}\cos{2x}\text{d}x&=+(1)(b)-(2)(c)+\int(3)(c)\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{2}\cos{3x}\sin{2x}-\frac{3}{4}\sin{3x}\cos{2x}+\frac{9}{4}\int\cos{3x}\cos{2x}\text{d}x\\[2ex] -\frac{5}{4}\int\cos{3x}\cos{2x}\text{d}x&=\frac{1}{2}\cos{3x}\sin{2x}-\frac{3}{4}\sin{3x}\cos{2x}\\[2ex] \int\cos{3x}\cos{2x}\text{d}x&=-\frac{2}{5}\cos{3x}\sin{2x}+\frac{3}{5}\sin{3x}\cos{2x}+C \end{align}$

注：積化和差顯然更簡單，看上去（半個）列表積分法很複雜的樣子，“效果”還不好。

在此試求：

$\int \cos{mx}\cos{nx}\text{d}x$

（

、

為實數）

由（半個）列表積分法：

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\downarrow$

$\begin{align} \cos{mx} \ (1)\\[2ex] -m\sin{mx} \ (2)\\[2ex] -m^2\cos{mx} \ (3) \end{align}$

（空格空格）

$\begin{align} &(a)\cos{nx}\\[2ex] &(b)\frac{1}{n}\sin{nx}\\[2ex] &(c)-\frac{1}{n^2}\cos{nx} \end{align}$

$\downarrow \int$

$\begin{align} \int \cos{mx}\cos{nx}\text{d}x&=+(1)(b)-(2)(c)+\int(3)(c)\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{n}\cos{mx}\sin{nx}-\frac{m}{n^2}\sin{mx}\cos{nx}+\frac{m^2}{n^2}\int \cos{mx}\cos{nx}\text{d}x\\[2ex] \left(1-\frac{m^2}{n^2}\right)\int \cos{mx}\cos{nx}\text{d}x&=\frac{1}{n}\cos{mx}\sin{nx}-\frac{m}{n^2}\sin{mx}\cos{nx}\\[2ex] \int \cos{mx}\cos{nx}\text{d}x&=\frac{n}{n^2-m^2}\cos{mx}\sin{nx}-\frac{m}{n^2-m^2}\sin{mx}\cos{nx}+C \end{align}$

由積化和差：

$\begin{align} \int \cos{mx}\cos{nx}&=\int(\cos{[(m-n)x]}+\cos{[(m+n)x]})\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{m-n}\sin{[(m-n)x]}+\frac{1}{m+n}\sin{[(m+n)x]}+C \end{align}$

就視覺上來說二者看上去是等價的。因為用（半個）列表積分法所得的結果與積化和差的結果還是隻差個積化和差。不過先積化和差會使積分簡單得多。

29、

$\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\text{d}x$

$\begin{align} \text{原式}&=\int\left(\frac{1+\sin x}{1+\sin x}-\frac{1}{1+\sin x}\right)\text{d}x\\[2ex] &=x-\int \frac{1}{1+\sin x}\text{d}x\\[2ex] &=x-\int \frac{1}{1+\sin x}\cdot\frac{1-\sin x}{1-\sin x}\text{d}x\\[2ex] &=x-\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\text{d}x\\[2ex] &=x-\int (\sec^2x-\sec x\tan x)\text{d}x\\[2ex] &=x-\tan x+\sec x+C \end{align}$

注：此題與題53、54相聯絡。

$\frac{1}{1\pm\sin x}$

、

$\frac{1}{1\pm\cos x}$

都可以先乘以

$\frac{1\mp\sin x}{1\mp\sin x}$

、

$\frac{1\mp\cos x}{1\mp\cos x}$

，即分母可用平方差公式，再利用

$\sin ^2x+\cos^2x=1$

轉化為相同的函式，拆開後便很簡單很易積了。

在題53、54還會有

$\tan {\frac{x}{2}}$

的代換，在這裡就不說了。

30、

$\int \frac{\text{d}x}{\sin{2x}\cos{x}}$

1）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int\frac{\text{d}x}{2\sin x\cos^2x} \qquad (\sin{2x}=2\sin x\cos x)\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \csc x\sec^2x\text{d}x\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \sqrt{\cot^2x+1} \ \text{d}(\tan x)\\[2ex] \end{align}$

設

$u=\tan x$

$\begin{align} \text{原式}&=\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{1}{u^2}+1} \ \text{d}u\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\text{d}u \end{align}$

設

$v=\sqrt{u^2+1}$

則

$\text{d}v=\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\text{d}u$

且

$\begin{align} \text{原式}&=\frac{1}{2}\int \frac{v}{u}\cdot\frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\text{d}v\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \frac{v^2}{v^2-1}\text{d}v\\[2ex] &=\frac{1}{2}\int \left(1+\frac{1}{v^2-1}\right)\text{d}v\\[2ex] &=\frac{1}{2}v+\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{v-1}-\frac{1}{v+1}\right)\text{d}v\\[2ex] &=\frac{1}{2}v+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{v-1}{v+1}\right|+C\\[2ex] &=\frac{1}{2}\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{u^2+1}-1}{\sqrt{u^2+1}+1}\right|+C\\[2ex] &=\frac{1}{2}\sec x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sec x-1}{\sec x +1}\right|+C \end{align}$

2）、

$\begin{align} \text{原式}&=\int\frac{\text{d}x}{2\sin x\cos^2x}\\[2ex] &=-\frac{1}{2}\int\frac{\text{d}(\cos x)}{(1-\cos^2x)\cos^2 x}\\[2ex] \end{align}$

設

$u=\cos x$

$\begin{align} \text{原式}&=-\frac{1}{2}\int \frac{\text{d}u}{(1-u^2)u^2}\\[2ex] &=-\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{1-u^2}\right)\text{d}u\\[2ex] &=\frac{1}{2u}-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-u^2}\text{d}u\\[2ex] &=\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C\\[2ex] &=\frac{1}{2}\sec x-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right|+C \end{align}$