Frequentist vs Bayesian 2 之 不，是你的貝葉斯
在詳細介紹什麼是貝葉斯，貝葉斯有什麼用等等之前，基於系列第一篇（為什麼心理學可以是科學：p<0。005>？），有人指出了幾點我認為值得說明一下。
其一
，可重複性
對於科學或者心理學來說，的確不是to be or not to be的決定性因素，但不可否認的是，對於任何學科，包括心理學，要想在學術界或者科學界挺起腰板（其實也是心理學家的責任和義務），我們對
可重複性危機（replication crisis）
必須要認真對待和解決（這裡推一下
Open Science 開放科學
，詳情關注專欄：Center for Open Science非官方部落格）。
其二，
p值是工具，
只要用工具的人真正瞭解工具的用途，清楚工具的有限（比如p值邏輯上的硬傷，稍後會說），正確使用工具，那就沒有問題。但是不少情況下，
心理學學者會錯誤、盲目使用p值，導致心理學科學研究不進反退
。
因此
解決可重複性危機的重要方法之一就是糾正心理學家使用p值的方法
。第二個方法，也就是這篇的重點：
推廣貝葉斯的應用
。為什麼呢？
因為在我看來，
科學的本質在於推動知識的發展
，而心理學家需要推動我們對
人類心理、認知、甚至人腦知識的發展，縮小我們目前的理解和真理（如果存在）之間的差距。
那麼，歷史以來我們是如何獲取知識呢？
我們做的就是收集資料（data），從資料推導結論，進化知識
。柯南說過，
真相只有一個
。但是，
從資料到結論，卻如去羅馬的路，不止一條
。第一篇文章介紹的p值就是一條路，而這一篇介紹的就是另外一條：
貝葉斯/ Bayes/ Bayesian。這條路更穩更快
。
回顧p值
我認為最好理解貝葉斯的方式就是從我們上次說的p值開始。
好吧，我又要問你了，什麼是p值啊？
來，跟著我讀一遍，
p值是：假設效應並不存在（null effect），你的資料+你有可能收集到但是沒收集到的更加極端的資料（long run/ fequentists）的機率。
所以，
p值並不能告訴你，一個理論存在與否的機率，而只能告訴你，在這個理論是錯的前提下，你的資料+你有可能收集到但是沒收集到的更加極端的資料（long run/ fequentists）的機率。
也就是說，
p值並不可以從根本意義上進化知識
。
（雖然p值還有很多其他問題，例如-H下低機率的資料也有可能在H下低機率等，這裡不一一細談。）
因此，既然我們想要進化知識，p值並不是我們想要的。
我們想要是，根據我手頭上收集到的資料X，我的理論正確的機率
，也就是：
P(H|X)。
套用牛頓的例子，就是，在牛頓被蘋果砸了那麼多次的前提下（資料/ Data），重力存在（理論/ H）的機率是多少。
我們該如何得到它呢？你猜的沒錯，就是
貝葉斯定理
。
貝葉斯/ Bayes/ Bayesian
理所當然，貝葉斯定理來自一個叫做貝葉斯Bayes的人。
根據基礎機率論知識，我們想要的
P(H|X)
其實就是
此可推導為：
（也就是本文封面那張圖上的公式）
整個公式由四個部分組成，
事前機率/ prior，當前可能性/ likelihood，證據/evidence (marginal likelihood)，以及事後機率/ posterior
。
先說
事前機率/ prior: P(H) —— 在收集資料之前，你認為的你的假設理論的存在的機率
比如，在牛頓的例子中，P（H）就是牛頓在被蘋果砸之前，心裡認為的重力存在機率的機率。
當前可能性/ likelihood：P(X|H)
——
在一個理論存在情況下，資料的機率。
而
P(X|-H)
便是在一個理論不存在的情況下資料的機率，即
p值
。
證據/Evidence (marginal likelihood): P(D) —— 收集到這批資料的機率
（它的計算比較複雜，目前實踐上我們最常用的就是MCMC來實現，在此文中暫時不多提）
最後最重要的
事後機率/ posterior，它就是進化知識的重要一環，它就是我們想要的。
它代表的是，
在收集資料之後，你認為的你的假設理論的存在的機率
。
貝葉斯理論的精粹就在於，它完全而且完美的運用了你對一個理論的信念（prior belief）和你收集的資料（data或likelihood），從中得出結論（posterior belief），告訴你這個理論存在的機率或者這個理論模型引數的分佈。這也是貝葉斯最大的優勢——它完全符合我們做科學研究的邏輯和目的，我們想要的就是透過觀察、收集資料，來更新我們對某一理論的認識和信念（belief）。
說到這裡或許你會有點糊塗，不要緊，接下來我用一個有趣的例子向你展示貝葉斯的魅力。
貝葉斯和投籃命中率
為了激起大家濃厚的興趣，也為了激起本人濃厚興趣，我們就別用扔硬幣的例子了。我們用貝葉斯定理來探討一個有關籃球的問題。
NBA某個球員在某場比賽中投籃命中率是 20中10，然後我問你，這個球員投籃準不準？
首先，由於我們並不知道這個球員是誰，所以我們對他投籃準不準持
中立態度
，他有可能投籃超級爛，也有可能變態準，因此我們的
事前機率/ prior
的分佈就是一個
uniform distribution
：
此圖中，x軸是各種有可能的模型（命中率在0到之間），而y軸是各種模型對應的可能性。
接下來，基於我們收集到的資料，我們可以得到
當前可能性/ likelihood
的分佈是：
通常資料和模型引數分佈決定著likelihood的分佈。
最後，由prior和likelihood，我們可以愉快的得到
事後機率/ posterior
的分佈：
唔，這個時候會發現，為什麼posterior和likelihood長得一模一樣？！因為你的prior是中立的啊！
如果你對一個理論是否成立（這個球員準不準）毫無把握，你持有中立態度，那麼實驗得出來的結論就完全由資料控制。相反的，倘若你的prior是有傾向的，那麼posterior將同時被事前概念和資料掌控。
好吧，這個時候我該告訴你，
剛剛那個資料是2016-2017賽季總決賽最後一場庫裡的資料
。
（NBA中國官方網站 ）
這時候，你的
prior
（至少我的prior）
就會變成這樣子：
根據庫裡變態準的名聲，我會覺得它的命中率一定很好，所以小於50%的命中率我都覺得不可能，於是都是0，而隨著x軸從0。5到1，我認為相對應的機率會變大。
但是，由於資料沒有變，
當前可能性/ likelihood
的分佈也不會變（
data is data
）：
最後，
事後機率/ posterior
的分佈是：
雖然
我的prior有點過分了，但是由於資料和likelihood的存在，我的posterior還是稍微被扭轉過來了
，庫裡的命中率有點靠近50%。但是由於我的prior堅信庫裡命中率不可能低於50%，我的posterior的左邊被砍了一半。這個就是
貝葉斯定理的優勢之一，結論是來自對資料和事前機率的充分考慮
。
但是，只根據一場的資料我們下結論會不會太倉促。那麼，接下來我們來看看整個季後賽庫裡的資料，我們可以體會
貝葉斯定理的第二個優勢，隨著樣本量變大，資料對結論的控制力會越來越大（prior的影響相對變小）
（但是這不代表樣本量越大的實驗越好）
。
在2016-2017賽季季後賽，庫裡的命中率是312投151中 （NBA。com/Stats | Season Leaders ）。
一樣的，我覺得庫裡變態準，於是有著變態的prior。
當輸入庫裡整個季後賽的資料，而不只是一場的資料，我對庫裡命中率的近乎不合理的prior似乎不再那麼重要了，posterior接近50%，更加像likelihood。
不，是你的貝葉斯
p值等經典資料分析方法從邏輯上有很大的漏洞
。但這不代表p值就應該完全被否定。就像我在文章一開頭就說的，p值和貝葉斯都只是工具。但是，貝葉斯在正確使用的情況下，是完美的。它就是
進化科學最有力的武器，是去羅馬的最穩最快的道路
。
貝葉斯不僅可以讓我們表達我們的prior，收集資料不受動機影響（data is data），而且它還可以量化和觀察資料對posterior的影響
。在一眾認知科學家的倡議下（Wagenmakers et al， 2017（1）； Wagenmakers et al， 2017（2））， 它在資料分析上的顯著優勢慢慢為人認識。Etz & Vanderkerckhove （2016） 也用了Bayes Factor來重新審視心理學重複性實驗大專案。
我並不提倡完全摒棄p值或Frequentist Statistics， 但是我衷心希望所有做心理，做科學的人懂得好好運用貝葉斯。
不，是你的貝葉斯。
SC
2017年9月15日。
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