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這道題怎麼做（解析幾何）?

作者：由 222smkj 發表于文化時間：2021-12-08

sumeragi6932021-12-09 02:02:15

沒什麼技巧，硬算就行了。

設

交橢圓於另一點

，根據題意，

關於x軸對稱。

因此設

，直線

於是

$k_1^2-8k_2^2=k_1^2-8\frac{(y_1+y_2)^2}{(x_1-x_2)^2}$

聯立橢圓得

韋達定理得

$x_1+x_2=\frac{8k_1^2}{4k_1^2+3},x_1x_2=\frac{4(k_1^2-3)}{4k_1^2+3}$

因此

$y_1+y_2=kx_1-k+kx_2-k=\frac{-6k}{4k_1^2+3}\Rightarrow(y_1+y_2)^2=\frac{36k_1^2}{(4k_1^2+3)^2}$

而

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{144 (k^2 + 1)}{(4k_1^2+3)^2}$

代入上式得

$k_1^2-8k_2^2=\frac{k_1^4-k_1^2}{k_1^2+1}=k_1^2+1+\frac{2}{k_1^2+1}-3\geq2\sqrt{2}-3$

當且僅當

$k_1^2+1=\frac{2}{k_1^2+1}$

，即

$k_1^2=\sqrt{2}-1$

時取等號。

高天鉀2021-12-09 10:42:20

這題有一個小點：PQ是過定點的

至於k1²和k2²關係的化簡，其實在仿射下根據阿波羅尼斯圓輕易得出，然後把結果用代數湊一下就出來了。

野豬2021-12-09 15:00:45

標簽：橢圓題意化簡硬算設交

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