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三角函式中，如何判斷三角形解的問題?

作者：由 sumeragi693 發表于 文化時間：2021-09-26

這裡給你一個建議。

解三角形出現多解問題的，只會是邊邊角模型，即給出了兩條邊和其中一邊的對角的模型。

設已知

a,b,A

，這裡建議你用餘弦定理判斷而不是某些參考書上提到的正弦定理。

根據餘弦定理，

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

，現在已知了

a,b,A

，所以方程中只剩下一個未知數

c

，而且還是關於

c

的一元二次方程。

判別式

\Delta=4b^2\cos^2A-4(b^2-a^2)=4(a^2-b^2\sin^2A)>0\Rightarrow a>b\sin A

也就是隻要

a>b\sin A

，上述方程一定有解。

根據韋達定理，

c_1+c_2=2b\cos A,c_1c_2=b^2-a^2

因此，當

A

是銳角，且

b>a

時，兩根均為正，即存在兩個三角形。這就是你圖中表格的

A

是銳角，且

b\sin A<a<b

的情形。

當

A

是銳角，但

b\leq a

時，兩根為一正一負或一正一0，其中非正根捨去，因此只存在一個三角形。對應表格中

A

是銳角，且

a\geq b

的情形。

當

A

是直角或鈍角時，此時

c_1+c_2\leq0

，最多有一個正根，即兩根必然不同號。於是若

b<a

，則兩根之積為負，滿足題意，捨去負根之後只存在一個三角形。對應表格中

A

是直角或鈍角，且

a>b

的情形。

而若

b\geq a

，那麼兩根之積非負。若兩根之積為0，則一根為0，另一根為負，捨去。若兩根之積為正，則兩根必然同號，和上面已證明的兩根必然不同號矛盾。所以這種情況下沒有符合題意的三角形，對應表格中

A

是鈍角，且

a\leq b

的情形。

標簽： 兩根  之積  銳角  三角形  表格 

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