三角形三邊分別為a,b,c。已知abc滿足a^2+b^2+2(c^2)＝8，求三角形面積的最大值?

作者：由拉格朗日的小棉襖發表于繪畫時間：2022-03-23

時年2022-03-24 11:01:40

$S^{2}=\frac{(ab)^{2}}{4}sin^{2}C=\frac{(ab)^{2}}{4}(1-cos^{2}C)=\frac{4(ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{16}\leq\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}-(8-3c^{2})^{2}}{16} =\frac{-5c^{4}+16c^{2}}{16}\leq\frac{4}{5}$

匿名使用者2022-03-24 23:21:15

引理：對於平面內兩定點

$\mathrm{A, B}$

，若動點

$\mathrm{P}$

滿足

$\mathrm{PA^2+PB^2}$

為定值，則點

$\mathrm{P}$

的軌跡是圓，且圓心在

$\mathrm{AB}$

的垂直平分線上。建系易證，這裡略去。

這裡先考慮

已知時，面積最大值的情況。

為定值，結合引理可得，當

時有最值。

這裡再考慮

對面積的影響。條件變為

。這裡做高，可得

$S=\frac{c\cdot h}{2}=\frac{c\cdot\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}}{2} =\frac{\sqrt{c^2(4-\frac{5}{4}c^2)}}{2} \leq \frac{\sqrt5}{2}\cdot \frac{\sqrt{\frac{5}{4}c^2+4-\frac{5}{4}c^2}}{2}=\frac{\sqrt5}{2}$

。

freeMaths2022-03-30 23:36:40

題

：在三角形

中滿足

，則三角形

的面積

最大值為_______。

給出兩種方法，

法 1

：

圖 1 AD 垂直於 BC

設點

在

上的

投影

為

則

，注：這裡

均為

有向線段

，以

方向為正，如圖 1。（如果是初次接觸，直接當點

在

邊上），於是

$\begin{gathered} 8=a^2+\color{blue}{b^2}+\color{orange}{2c^2}\\[1em] 8=a^2+(\color{blue}{AD^2+DC^2})+2\color{orange}{(AD^2+BD^2)}\\[1em] 8=a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{\left(\frac 12+1\right)(2BD^2+DC^2)}\\[1em] {}\xlongequal{\small\text{柯西不等式}}{~}8\geqslant a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{\left(BD+DC\right)^2}\qquad\\[1em] 8\geqslant a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{a^2}\\[1em] \boxed{\frac 53a^2+3AD^2 \leqslant 8}. \end{gathered}\\$

從而再由均值不等式有

$\begin{align*} 8\geqslant \frac 53a^2+3AD^2 &\geqslant 2\sqrt 5 a\cdot AD\\[1em] \Rightarrow S=\frac 12a\cdot AD&\leqslant \frac 12\cdot \frac 8{2\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}5. \end{align*}\\$

（

或者利用

$xy\leqslant \frac {x^2+y^2}2$

$\begin{align*} S&=\frac 12a\cdot AD\\[1em] &=\frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\sqrt {\frac 53}a\cdot \sqrt 3 AD}\\[1em] &\leqslant \frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\frac {\frac 53a^2+3AD^2}2}\\[1em] &\leqslant \frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\frac {8}2}\\[1em] &=\frac {2\sqrt 5}5. \end{align*}\\$

）

兩次取 “

”時，

$\frac {1/\sqrt 2}{\sqrt 2BD}=\frac 1{DC}$

即

$BD=\frac 12DC$

，且

$\sqrt {\frac 53}a=\sqrt 3 AD$

即

$AD=\frac {\sqrt 5}3a$

，進一步知

$b^2=\frac 59a^2+\frac 49a^2=a^2$

，

$\tan C=\frac {\sqrt 5/3a}{2/3 a}=\frac {\sqrt 5}2.$

法 2

：

$\begin{align*} 8&=a^2+b^2+2c^2\\[1em] &=a^2+b^2+2(a^2+b^2-2ab\cos C)\\[1em] &=\color{blue}{3a^2+3b^2}-4ab\cos C\\[1em] &\geqslant \color{blue}{6ab}-4ab\cos C\\[1em] &=\color{blue}{ab\sqrt{(20+16)(\sin^2C+\cos^2C)}}-4ab\cos C\\[1em] {}\xlongequal{\small\text{柯西不等式}}&\geqslant \color{blue}{2\sqrt 5ab\sin C+4\cos C}-4ab\cos C\\[1em] &= 2\sqrt 5ab\sin C\\[1em] \Rightarrow S&=\frac 12ab\sin C\leqslant \frac 12\cdot \frac 8{2\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}5.\end{align*}\\$

本質上也是柯西不等式破題，不過，這裡兩次等號同成立時，知

且

$\tan C=\frac {\sqrt 5}2$

是一眼即知的。

附贈一道類題

這個解三角形的問題怎麼算？

知乎使用者2022-03-31 08:47:52

題目比較弱智，我就直接上程式碼！

由於約束條件限制了所有變數的範圍都是有界的，那麼必然面積是有界的，因此只需要用拉格朗日乘子法計算出所有可能的極值，然後在所有的極值中比較，最大值就是要求的面積最大值。

目標函式如下：

$\frac{1}{2} (a+b+c) \left(\frac{1}{2} (a+b+c)-a\right) \left(\frac{1}{2} (a+b+c)-b\right) \left(\frac{1}{2} (a+b+c)-c\right)+t \left(a^2+b^2+2 c^2-8\right)$

分別對a b c t求解偏導數並且化簡，結果如下：

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} a \left(-a^2+b^2+c^2+8 t\right) \\ \frac{1}{4} b \left(a^2-b^2+c^2+8 t\right) \\ \frac{1}{4} c \left(a^2+b^2-c^2+16 t\right) \\ a^2+b^2+2 c^2-8 \\ \end{array}$

求解方程組，並且增加一列函式值（降序排列

），結果如下：

$\begin{array}{lllll} a\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & b\to -2 \sqrt{\frac{3}{5}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{5}} & t\to -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ a\to 2 & b\to 2 & c\to 0 & t\to 0 & 0 \\ a\to 2 & b\to -2 & c\to 0 & t\to 0 & 0 \\ a\to -2 & b\to 2 & c\to 0 & t\to 0 & 0 \\ a\to -2 & b\to -2 & c\to 0 & t\to 0 & 0 \\ a\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & b\to 0 & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & b\to 0 & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & b\to 0 & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & b\to 0 & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 0 & b\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 0 & b\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 0 & b\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to 2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 0 & b\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & c\to -2 \sqrt{\frac{2}{3}} & t\to 0 & 0 \\ a\to 0 & b\to 0 & c\to 2 & t\to \frac{1}{4} & -1 \\ a\to 0 & b\to 0 & c\to -2 & t\to \frac{1}{4} & -1 \\ a\to 2 \sqrt{2} & b\to 0 & c\to 0 & t\to 1 & -4 \\ a\to -2 \sqrt{2} & b\to 0 & c\to 0 & t\to 1 & -4 \\ a\to 0 & b\to 2 \sqrt{2} & c\to 0 & t\to 1 & -4 \\ a\to 0 & b\to -2 \sqrt{2} & c\to 0 & t\to 1 & -4 \\ \end{array}$

很顯然，第一行就是我們想要的結果，對函式值開平方就是三角形的面積，是

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

，

此時三邊邊長如下：

$\left\{\left\{a\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}},b\to 2 \sqrt{\frac{3}{5}},c\to 2 \sqrt{\frac{2}{5}},t\to -\frac{1}{5}\right\}\right\}$

Clear

［

“Global`*”

］；

（*子函式，海倫公式*）

heron

［

，

］

：=

Module

［{

（

）

}，

Sqrt

［

（

）

（

）

（

）］］

（*約束條件限制了所有變數有界，因此面積有界，所以可以用拉格朗日乘子法解決問題*）

（

heron

［

，

］）

（

2-8

）

（*求解偏導數，解方程組*）

aaa

Solve

［

，{{

，

}}］

，{

，

}］

FullSimplify

；

bbb

Append

［

，

FullSimplify

［（

/。

）］］

&/@

aaa

；

（*增加一列函式值*）

ccc

Sort

［

bbb

，

［［

］］

［［

］］

］；

（*按照函式值降序排列*）

Grid

［

ccc

，

Alignment

Left

］

（*列表顯示*）

知識如水2022-03-31 17:59:57

來一個好想的方法，但並沒有 @時年的方法簡單。

在三角形

中，三邊分別為

；滿足

，

則三角形

的面積

最大值為_______。

解：

消元：

$8=a^{2}+b^{2}+2\color{green}{c^{2}}=a^{2}+b^{2}+2\color{green}{ \left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right) ^{2}}=3\left( a^{2}+b^{2}\right) -4ab\cos C$

基本不等式放縮：

$8\geq 6ab-4ab\cos C$

移項配湊目標：

$S=\color{red}{\dfrac{\sin C}{2}}ab\leq \dfrac{4}{3-2\cdot \cos C}\cdot \color{red}{\dfrac{\sin C}{2}} \xlongequal[t=\tan \dfrac{C}{2} ]{\color{green}{萬能代換}}\dfrac{4t}{1+5t^{2}}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{t}+5t}$

$\therefore S\leq \dfrac{4}{\dfrac{1}{t}+5t}\leq \dfrac{4}{2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{t}\cdot 5t}}=\dfrac{2\cdot \sqrt{5}}{5}$

取等：

且

$\tan \dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \tan C=\dfrac{2\times \dfrac{1}{\sqrt{5}}}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

標簽：最大值三角形面積函式不等式

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三角形三邊分別為a,b,c。已知abc滿足a^2+b^2+2(c^2)＝8，求三角形面積的最大值?

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