一些關於Logistic-Map的筆記（週期小於等於6的零點）

作者：由乘著歌聲的翅膀發表于動漫時間：2022-12-12

1。前言

突然感覺Logistic-Map如果畫成複數形式的（就是Mandelbrot集的樣子的）時候，把零點標出來還真的有點像地圖，如下圖所示：

其中標了週期

的所有零點，當然易知如果

，則週期

的零點也是週期

的零點，所以就按照

（較小的）標記了，比如圖裡的

和

的零點也是週期

的零點，因此只按照

或者

的標記。

這些零點可以是附屬於主集合上的泡泡的連線點（當然也可是附屬在泡泡上或者穩定島上），也可是遊離在外部的穩定島的基準點；如果是前者，那麼這個零點的週期數肯定是附屬結構的週期的倍數（週期

泡泡上的附屬泡泡可以是週期

、

等，絕不可能是

、

等）；如果是後者，那麼週期可以是任何整數，其中主集合也可以視為一個週期為

的穩定島，除此之外最大的穩定島的週期為

，在Mandelbrot集上最左側的線上有一個小疙瘩，其實就是週期

的穩定島，放大後可以看到它的形狀相似於整體，而Logistic-map裡這個穩定島在最右側的線上。

將上圖進行放大，可以如下圖所示（左側是主集合的週期

泡泡）：

然後再放大，可以看到週期

的穩定島的全貌了，它的週期

泡泡的週期為6（

），實軸上的每一個穩定島放大到足夠倍數時，都會是類似於Mandelbrot這種形狀：

將原圖的主集合的週期

泡泡處放大如下圖所示，可以看到每個鬚子上都有穩定島：

這裡的鬚子在繪圖時由於精度誤差變得無法看到，實際上每個穩定島都會有鬚子連線到主集上的。鬚子之間也會有分叉，最後連線到主集合的泡泡的泡泡的泡泡的……上。

另外，特別的，如果限制

的取值範圍為實數，那就是正經八本的Logistic-Map分岔圖了，其中可以很明顯地看到混沌區和位於混沌區呈帶狀的週期區（大家最熟知的混沌模型），每個週期區對應上圖中的一個穩定島。

然後接下來就是週期

的零點的具體值了。注意到所有的零點在複平面都是關於

對稱的，所以圖畫的都是區間

的影象。

2。週期2

判別式：

$\Delta_2=P_{21}^6P_{22}^1P_{23}^3$

，其中：

$P_{21}=b$

$P_{22}=b+1$

：

$P_{23}$

的對稱點。

$P_{23}=b-3$

：唯一的實數解：

，為主集合的週期

泡泡。

3。週期3

判別式：

$\Delta_3=P_{31}^{42}P_{32}^2P_{33}^4P_{34}^3$

，其中：

$P_{31}=b$

$P_{32}=b^2+b+1$

：

$P_{33}$

的對稱點。

$P_{33}=b^2-5b+7$

：兩個複數解為

$\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$

，為主集合的週期

泡泡。

$P_{34}=b^2-2b-7$

：穩定島方程，兩個實數解為

$1\pm2\sqrt2$

，為實軸上的兩個週期

的穩定島，其中正向*有一個，同時也是最大的穩定島。

*注：這裡正向指的是座標軸中心在

時的正方向，即實軸上

$\Re(z)>1$

的部分，下同。

計算三次迭代的判別式用Matlab耗時約1。5秒（實際執行約10秒）。

4。週期4

判別式：

$\Delta_4=P_{41}^{210}P_{42}^1P_{43}^3P_{44}^3P_{45}^6P_{46}^5P_{47}^4$

，其中：

$P_{41}=b$

$P_{42}=b+1$

：週期

的零點。

$P_{43}=b-3$

：週期

的零點。

$P_{44}=b^2+1$

：

$P_{46}$

的對稱點。

$P_{45}=b^2-2b-5$

：兩個實數解為

$1\pm\sqrt6$

，為主集合的週期

泡泡上的週期

泡泡。

$P_{46}=b^2-4b+5$

：兩個複數解為

$2\pm i$

，為主集合的週期

泡泡。

$P_{47}=b^6-6b^5+3b^4+28b^3-9b^2-54b-135$

穩定島方程，具有

個實數解（正向有

個）和

個複數解（第一象限有

個）。

兩個實數解為：

$b=1\pm\sqrt{3\sqrt[3]{4}+4}\\ b_+\approx3.96010188268995201223$

對應實軸上週期

穩定島，正向有一個，位於週期

穩定島的遠端。

另外四個複數解（不確定是不是最簡潔的形式）：

$b=1\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{16+18\sqrt[3]{2}-12\sqrt[3]{4}}-3\sqrt[3]4+8}}{2}\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{16+18\sqrt[3]{2}-12\sqrt[3]{4}}+3\sqrt[3]4-8}}{2}i\\ b_+\approx2.7391733135+1.1856750788i$

為週期

的穩定島，在主集合週期

泡泡的鬚子上，每個象限*一個。

*注：這裡象限指的是座標軸中心在

時的象限，所以第一象限的範圍是

$\Re(z)>1,\Im(z)>0$

的部分，下同。

計算四次迭代的判別式用Matlab耗時約35秒（實際執行約110秒）。

5。週期5

判別式：

$\Delta_5=P_{51}^{930}P_{52}^4P_{53}^6P_{54}^5$

，其中：

$P_{51}=b$

$P_{52}=b^4+b^3+b^2+b+1$

：

$P_{53}$

的對稱點。

$P_{53}=b^4-9b^3+31b^2-49b+31$

：四個複數解：

$b_{1,2}=2-\cos\frac{2}{5}\pi\pm i\sin\frac{2}{5}\pi\\ b_{3,4}=2+\cos\frac{1}{5}\pi\pm i\sin\frac{1}{5}\pi\\ b_{+1}\approx1.6909830056+0.9510565162i\\ b_{+2}\approx2.8090169944+0.5877852523i$

對應主集合的週期

泡泡，每個象限兩個。

$P_{54}=b^{22}-22b^{21}+189b^{20}-700b^{19}+116b^{18}+7488b^{17}-18092b^{16}-17344b^{15}+103556b^{14}+8008b^{13}-294146b^{12}-234632b^{11}+808298b^{10}+1484268b^9-1613676b^8-4002880b^7-1495060b^6+5836984b^5+13369804b^4+3613360b^3-14329471b^2-31399714b-28629151$

穩定島方程，具有

個實數解（正向有

個）和

個複數解（第一象限有

個）。

個實數解在

正向上有

個

，其數值解為：

$b_{+1}\approx3.73817237526596236943\\ b_{+2}\approx3.90557187017249978843\\ b_{+3}\approx3.99025730741338356884$

對應實軸上的

個週期

穩定島，它們分別分佈在主集和週期

穩定島之間、週期

穩定島和週期

穩定島、週期

穩定島的遠端。

另外

個複數解

每個象限有

個

，其數值解為：

$b_{+1}\approx2.0401200284+1.2335243033i\\ b_{+2}\approx2.6279073118+1.2123682411i\\ b_{+3}\approx2.8087741974+1.2166233231i\\ b_{+4}\approx3.4741536805+0.3069665439i$

對應

個週期

穩定島，它們分別在：主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）、主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）、主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）。

計算五次迭代的判別式用Matlab耗時約……2770秒（實際執行約一個半小時）。

6。週期6

判別式：

$\Delta_6=P_{61}^{3096}P_{62}^1P_{63}^3P_{64}^2P_{65}^5P_{66}^7P_{67}^4P_{68}^3P_{69}^8P_{6,10}^9P_{6,11}^6$

，其中：

$P_{61}=b$

$P_{62}=b+1$

：週期

的零點。

$P_{63}=b-3$

：週期

的零點。

$P_{64}=b^2+b+1$

：週期

的零點。

$P_{65}=b^2-b+1$

：

$P_{66}$

的對稱點。

$P_{66}=b^2-3b+3$

：兩個複數解為

$\frac{3\pm\sqrt3i}{2}$

，主集合的週期

泡泡。

$P_{67}=b^2-5b+7$

：週期

的零點。

$P_{68}=b^2-2b-7$

：週期

的零點，也是週期

穩定島的基準點。

$P_{69}=b^4-4b^3-5b^2+18b+21$

：具有四個複數解：

$b=1\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{31}+11}}{2}\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{31}-11}}{2}i\\b_+\approx3.3524204942+0.1840711314i$

對應主集合的週期

泡泡上的週期

泡泡，每個象限一個。那麼它（以及它的一個共軛）和週期

泡泡的基準點是否能

構成等邊三角形

呢（見圖裡的位於週期

泡泡“邊緣”上的三個點）？我們驗算一下：

豎直的邊長為

$L_1=2\Im(b_+)=\sqrt{2\sqrt{31}-11}\approx0.368142$

與基準點的距離為

$L_2=\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{2\sqrt{31}+11}}{2}-3 \right)^2+\left( \frac{\sqrt{2\sqrt{31}-11}}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\sqrt{31}-2\sqrt{2\sqrt{31}+11}}\approx0.39760$

所以三點並不構成等邊三角形。那麼我們再大膽一點，檢查下

週期

泡泡的形狀：

假如它是個圓，則“圓心座標”應該為週期

泡泡的基準點和週期

泡泡的週期

泡泡的基準點的中心點（詳見週期

的篇幅），即

$\left( 2+\frac{\sqrt{6}}{2}, 0 \right)$

，半徑為

$r=\frac{\sqrt{6}}{2}-1\approx0.22474$

。然後計算下週期

泡泡上的週期

泡泡的基準點到“圓心”距離是否等於半徑即可。

所以

和

有約

的誤差，這也說明

週期#FormatImgID_156#泡泡並不是一個圓！

$P_{6,10}=b^6-6b^5+4b^4+24b^3-14b^2-36b-81$

具有兩個實數解和四個複數解。兩個實數解為：

$b=1\pm\sqrt{\frac{\sqrt[3]{7660+540\sqrt{201}}+\sqrt[3]{7660-540\sqrt{201}}+22}{6}}\\ b=1\pm\sqrt{\frac{11}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{10}\cosh\frac{1}{3}\cosh^{-1}\frac{383}{40}\sqrt{10}}\\ b_+\approx3.84149900754350784631$

對應週期

穩定島上的週期

泡泡。

四個複數解的解析解表示太麻煩，所以需要使用那個實數解的根號下面的

：

$u=\frac{\sqrt[3]{7660+540\sqrt{201}}+\sqrt[3]{7660-540\sqrt{201}}+22}{6}\\ b=1\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{u^2-11u+37}+11-u}}{2}\pm\frac{\sqrt{2\sqrt{u^2-11u+37}-11+u}}{2}i\\ b_+\approx2.6000427421+1.0474708023i$

對應主集合的週期

泡泡上的週期

泡泡，每個象限一個。

$P_{6,11}=b^{40} - 40b^{39} + 722b^{38} - 7676b^{37} + 52181b^{36} - 225060b^{35} + 516582b^{34} + 195228b^{33} - 5563348b^{32} + 16770304b^{31} - 12966642b^{30} - 48885412b^{29} + 137026587b^{28} - 75365092b^{27} - 100717898b^{26} - 126361652b^{25} + 347099271b^{24} + 1483852216b^{23} - 3839476860b^{22} + 746246488b^{21} + 3195434424b^{20} + 945192256b^{19} + 5757007476b^{18} - 25709485160b^{17} + 10442067223b^{16} + 1219753488b^{15} + 29299283358b^{14} + 63425976316b^{13} - 148805533357b^{12} - 23477492116b^{11} - 70347416426b^{10} + 203273817100b^9 + 268499651644b^8 - 20846657216b^7 - 32353949026b^6 - 930539982708b^5 - 266965430067b^4 - 195203691396b^3 + 1847916843066b^2 + 583552687284b + 3063651608241$

穩定島方程，具有

個實數解（正向有

個）和

個複數解（第一象限有

個）。

個實數解在

正向上有

個

，其數值解為：

$b_{+1}\approx3.62655316169497372588\\ b_{+2}\approx3.93751641898303065892\\ b_{+3}\approx3.97776044093697244107\\ b_{+4}\approx3.99758252390476252425$

對應實軸上的

個週期

穩定島，它們分別分佈在主集和第一個週期

穩定島之間、第二個週期

穩定島和週期

穩定島之間、週期

穩定島和第三個週期

穩定島之間、以及第三個週期

穩定島的遠端（已經大約

處了，十分接近尖端了）。

另外

個複數解

每個象限有

個

，其數值解為：

$b_{+1}\approx1.6723214769+1.1073477204i\\ b_{+2}\approx1.9651250230+1.2392121099i\\ b_{+3}\approx2.0802939158+1.2677355443i\\ b_{+4}\approx2.6248246093+1.2560665216i\\ b_{+5}\approx2.7814493552+1.2324503196i\\ b_{+6}\approx2.8308870947+1.2174070923i\\ b_{+7}\approx2.9602849302+0.6761805313i\\ b_{+8}\approx3.5006281779+0.3416983729i$

對應

個週期

穩定島，它們分別在（以實部排列）：主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）、主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）、主集合週期

泡泡的鬚子上（

個），主集合另一個週期

泡泡的鬚子上（

個），主集合週期

泡泡的鬚子上（

個）。

計算六次迭代的判別式用Matlab耗時約……656347秒（實際執行約半個月）。因為結式對應的Sylvester矩陣的階是指數增長的，所以計算判別式的所需時間也幾乎是指數增長。其實根據判別式與它的約數階判別式具有相同項，得知如果

，則迭代式

$f^{[n]}(x)-x$

必定能整除

$f^{[m]}(x)-x$

，這裡取

為

的最大約數後，需要進行多項式除法，即約分（Wolfram Mathworld中Logistic Map的詞條裡計算迭代式就是用的先約分後再求判別式），能將階數減少

僅一點點，並且準備時間因為多了一部約分，所以反而增加了。

基本也就是這樣了。

7。週期7

還在計算，是從10月14日開始執行……（其實9月末就開始執行但是十一長假被某個加班的同事給整斷電了X（，外加國慶之後就被隔離了，14號才重啟）。

有一些解應該很好估計：首先是主集合的週期

泡泡：

$b_{1,2}=2-\cos\frac{2}{7}\pi\pm i\sin\frac{2}{7}\pi\\ b_{3,4}=2+\cos\frac{3}{7}\pi\pm i\sin\frac{3}{7}\pi\\ b_{5,6}=2+\cos\frac{\pi}{7}\pm i\sin\frac{\pi}{7}$

以及它的對稱點：

$b_{1-6}=\cos\frac{k}{7}\pi\pm i\sin\frac{k}{7}\pi(k=1,2,3,4,5,6)$

以上12個解應該來自於兩個六次方程。

然後因為

是素數，所以肯定沒有依賴於其他週期的泡泡或穩定島的零點。

至於穩定島，Wolfram Mathworld給了實軸上的穩定島上的解，竟然多達

個：

$b_{+1}\approx3.7016407641603495818\\ b_{+2}\approx3.77413\\ b_{+3}\approx3.88602\\ b_{+4}\approx3.92218\\ b_{+5}\approx3.95102\\ b_{+6}\approx3.96897\\ b_{+7}\approx3.98474\\ b_{+8}\approx3.99453\\ b_{+9}\approx3.99939$