量化研究員面試聖經刷題筆記系列2-1-鞅和隨機遊走, 布朗運動和隨機微積分(題目持續更新)|A practical guide to quantitative finance interviews

一 鞅和隨機遊走

基礎知識

停時是一個隨機變數。你給定一個條件，讓這個過程在某個時刻停下。這個停下的時間就是停時。

比如我要在時間t=5時停下，那麼這個停時就永遠是5。從機率論的角度來講這個停時就是一個定義在平凡

代數上的隨機變數。

比如我要在這個過程達到10的時候停下，那麼因為這個過程是隨機的，所以這個停時也是個隨機變數。因為這個過程在什麼時候達到10是隨機的。

但是要注意一個停時只能定義在在這個停時之前的時間所關聯的sigma域上。比如你可以讓一個過程在它第一次達到10的時候停下，這個時間是一個停時。但是你不能讓一個過程在它最後一次達到10的時候停下。因為你永遠不知道這一次停下是不是最後一次。因此它就不是一個停時。

停時定理就是說如果一個鞅滿足特定條件（這些條件基本就是要求停時和過程本身almost surely bounded）那麼這個鞅在任何停時的期望值等於它在零時刻的期望值

作者：EvilSpawn

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zhihu。com/question/3042

3963/answer/90242270

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例題

醉漢問題

有一個100米的橋，醉漢在第17米以50%的機率每步向前或向後一米。 求醉漢（在到第0米之前）到第100米的機率？ 醉漢到任一端點的期望步數是？

答：

大多數解題者用帶有2個吸收態的馬爾科夫鏈或把問題看成p=0。5的賭徒ruin problem~其實更簡單且有洞見的方法是鞅（這個問題裡我們也能看出停時）

篩子游戲

滾篩子，每次滾得到所得face的價值。 如果滾到4/5/6， 可以再滾一次； 滾到1/2/3則遊戲停止。 求遊戲的期望回報。

答： 因為這個遊戲有明確的停時規則， 可以考慮用Wald等式。 其中N服從幾何分佈

硬幣序列

硬幣無偏。 拋硬幣序列得到連續n個頭的期望次數？

答：

方法1-用數學歸納法證明

可以分析f（n+1）和f（n）的關係~

方法2-鞅方法 比較複雜

二 布朗運動和隨機微積分

基礎知識1

看到布朗運動的不同時間戳， 首先想到對它們做差（對於任意的r小於等於s，W（t）-W（s）獨立於的W（r））； 看到布朗運動的停時， 首先聯想B（t）^2-T是鞅的性質， 據此將求停時的期望轉換為求B（t）^2的期望。

例題

所以目前求停時的兩大思路是 1。W（t）^2-T是鞅 2。Wald等式~

基礎知識2

利用ito引理我們可以粗略判斷一些過程是不是鞅過程（如果dt前的係數不是機率為1的為0， 即漂移項不為0， 則必定不是鞅過程）！

例題

附錄-安利資料

布朗運動、伊藤引理、BS 公式（前篇） - 石川的文章 - 知乎 石川：布朗運動、伊藤引理、BS 公式（前篇）

布朗運動、伊藤引理、BS 公式（後篇） - 石川的文章 - 知乎 石川：布朗運動、伊藤引理、BS 公式（後篇）

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