數理邏輯—1.4巢狀量詞

作者：由顧玖發表于收藏時間：2022-11-25

在

1。3 節

我們定義了

全稱量詞

和

存在量詞

，並展示瞭如何用它們來表示數學語句。我們也解釋瞭如何用他們將自然語言翻譯成邏輯表示式。但是在 1。3 節我們迴避了

巢狀量詞

，即一個量詞出現在另一個量詞的作用域內，例如

$\forall x\ \exists y\ (x+y=0)\\$

注意到，量詞範圍內的一切都可以認為是一個命題函式，即

$\forall x\ \exists y\ (x+y=0)$

與

$\forall x Q(x)$

是一樣的，其中命題函式

表示

$\exists y\ P(x,y)$

，而

表示

。

事實上，巢狀量詞會經常出現在數學命題中。下面，我們對涉及巢狀量詞的語句進行介紹。

1。4。1 涉及巢狀量詞的語句

為了理解涉及巢狀量詞的語句，我們需要闡明其中出現的量詞和謂詞的含義。

[例 1]

假設變數

的論域為所有實數的集合，語句

$\forall x\ \forall y\ (x+y=y+x)\\$

表示對所有實數

和

，

，即實數加法的交換律。

同樣，語句

$\forall x\ \exists y\ (x+y=0)\\$

表示對所有實數

，有一個實數

，使得

。也就是每個實數都有一個加法的逆元。

同樣，語句

$\forall x\ \forall y\ \forall z\ (x+(y+z)=(x+y)+z)\\$

是實數加法的結合律。

[例 2]

將下列語句翻譯成自然語言

$\forall x\ \forall y\ ((x>0)\wedge (y<0)\rightarrow (xy<0))\\$

其中變數

和

的論域都是全體實數。

解：

這個語句表示對於任意的實數

和

，如果

且

，那麼

。也就是說，“一個正實數和一個負實數的積一定是負實數”。

1。4。2 量詞的順序

許多數學語句會涉及多變數命題函式的多重量化。要注意的是，

量詞的順序是很重要的，除非所有量詞均為全稱量詞或均為存在量詞

。下面通過幾個例子來進行解釋

[例 3*]

令

為語句“

”，量化表示式

$\forall x\ \forall y\ P(x,y)$

和

$\forall y\ \forall x\ P(x,y)$

的真值是什麼？這裡所有變元的論域都是全體實數。

解：

量化表示式

$\forall x\ \forall y\ P(x,y)\\$

表示的命題是

$\large{“對所有實數x，對所有實數y，x+y=y+x成立”}\\$

因為

對所有實數

和

為真（實數的加法交換律），故

$\forall x\ \forall y\ P(x,y)$

為真。

另外，注意語句

$\forall y\ \forall x\ P(x,y)$

表示“對所有實數

，對所有實數

，

”，其意思與“對所有實數

，對所有實數

，

”意思相同，都為真。也就是說量化表示式

$\forall x\ \forall y\ P(x,y)$

和

$\forall y\ \forall x\ P(x,y)$

的意義相同，都為真。

此例說明了這樣一個原理，即在沒有其他量詞的語句中，在不改變數化表示式意義的前提下，巢狀全稱量詞的順序是可以改變的。

[例 4*]

令

表示“

”，量化式

$\exists y\ \forall x\ Q(x,y)$

和

$\forall x\ \exists\ y\ Q(x,y)$

的真值是什麼？這裡所有變元的論域是全體實數。

解：

量化式

$\exists y\ \forall x\ Q(x,y)\\$

表示的命題式

$\large{“存在一個實數y使得對每一個實數x，Q(x,y)都成立”}\\$

然而，不管

取什麼值，只存在一個

能使

成立。故語句

$\exists y\ \forall x\ Q(x,y)$

為假。

而量化式

$\forall x\ \exists\ y\ Q(x,y)\\$

表示的命題是

$\large{“對每一個實數x都存在一個實數y使得Q(x,y)成立”}\\$

事實上，給定一個實數

，總存在一個實數

能使

，這個實數就是

。因此，

$\forall x\ \exists\ y\ Q(x,y)$

為真。

例 4 說明量詞出現的順序會產生不同的影響。

下表對涉及兩個變數的量化表示式進行了總結

實際上，更為常見的是超過兩個變數的量化式。

[例 5*]

令

為語句“

”，語句

$\forall x\ \forall y\ \exists z\ Q(x,y,z)$

和

$\exists z\ \forall x\ \forall y\ Q(x,y,z)$

的真值是什麼？其中所有變數的論域都是全體實數。

解：

假定給

和

賦了值，那麼就有一個實數

，使得

。於是量化式

$\forall x\ \forall y\ \exists z\ Q(x,y,z)\\$

相當於語句

$\large{“對所有實數x和所有實數y，存在一個實數z，使得x+y=z”}\\$

為真。這裡量詞出現的順序是很重要的，因為量化式

$\exists z\ \forall x\ \forall y\ Q(x,y,z)\\$

也就是語句

$\large{“存在一個實數z使得對所有實數x和所有實數y，x+y=z”}\\$

為假，因為沒有

的值能使

對

和

的所有值都成立。

1。4。3 數學語句翻譯為巢狀量詞語句

透過上述內容的引入與學習，我們已經具備將平時遇到的數學語句翻譯為更為簡潔的邏輯表示式的能力，這個技能在我們閱讀相關數學證明時能起到很大的幫助。例如

[例 6]

將語句“除了

以外的每個實數都有一個乘法逆元”（一個實數

的乘法逆元是使

的實數

）翻譯成邏輯表示式。

解：

上述語句等價為“對每個實數

，如果

$x\neq0$

，那麼存在一個實數

使得

”，即

$\forall\ x\ ((x\neq0)\rightarrow\exists\ y\ (xy=1))\\$

下面再給出一個大家耳熟能詳的例子，

[例 7*]

（

需要微積分知識

）用量詞來描述實變數

的實函式

在其定義域中點

處的極限的定義。

解：

首先，回顧函式在某點處極限的定義

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\\$

為：對每個實數

$\epsilon>0$

，存在一個實數

$\delta>0$

，使得對於任意的

，只要

$0<|x-a|<\delta$

，就有

$|f(x)-L|<\epsilon$

。

極限的這一定義用量詞可以表示為

$\forall\ \epsilon\ \exists\ \delta\ \forall\ x(0<|x-a|<\delta\rightarrow|f(x)-L|<\epsilon)\\$

其中

$\epsilon$

和

$\delta$

的論域是正實數集合，

的論域是實數集合

這一定義還可表示為

$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta>0\ \forall\ x(0<|x-a|<\delta\rightarrow|f(x)-L|<\epsilon)\\$

注意，此處

$\epsilon$

和

$\delta$

的論域是實數集合，而不是正實數集合。（這裡用到了含約束論域的量詞。回憶一下，

$\forall\ x>0\ P(x)$

指的是對所有

的數，

為真。）

Kenneth Rosen。 Discrete Mathematics and Its Applications［M］。 McGraw-Hill Professional， 2012。

標簽：實數量詞語句論域量化

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