物理能否公理化？
rener2021-12-19 19:50:43先說結論，不能，至少現在是這樣。
關於這個費曼說得很好。
“有朝一日物理學完成了，我們掌握了所有的定律，那時候我們也許可能從某些公設開始，無疑有人會想出一種特別的方法，能夠從這些公設出發推匯出所有的其他東西來。但我們現在還不知道所有的定律……”
以下內容來自費曼的《The Character of Physical Law》
現在又有了一個有趣的問題。是不是有一個出發點來推出整個理論呢？在大自然裡是不是有某種特殊的樣式或者秩序，藉此我們能夠理解某一組陳述更為基本一些，而另一組陳述則更適宜看作是結果呢？有兩種看待數學的方式，為了這次講座的目的，我把它們稱為巴比倫傳統和希臘傳統。在巴比倫的數學學校裡，學生們透過做大量的例題，直到他們掌握普遍的規則來學習一些東西。他們也會知曉大量關於幾何學的知識、關於圓的許多性質、畢達哥拉斯定理、立方體和圓的面積；此外還會在某種程度上學到用來從一件事情到另一件事情的論證方法。他們會運用一些數量的表格去解出複雜的方程。一切都是為了計算出結果。但希臘的歐幾里得發現，有一種方法，可以從特別簡單的一組公理出發，匯出幾何學的所有定理。巴比倫數學家的看法，或者我稱為巴比倫風格的數學是，你知道了所有不同的數學定理和它們之間的許多聯絡，但你永遠也不會完全認識到，這都是能夠從一批公理推出來的。最現代的數學都是集中在一些公理上，以及在關於什麼是可接受作為公理的和什麼是不可接受作為公理的一個非常確定的約定的框架之內的論證之上。現代幾何學採取某些類似於歐幾里得幾何的公理，經過改進以求完善，然後證明這個理論體系能夠得出什麼樣的推論。例如，不要期望新幾何學會讓類似於畢達哥拉斯的定理具有公理的地位。（這條定理說的是一個直角三角形的兩條直角邊上的兩個正方形的面積之和，等於斜邊上的正方形的面積。）而另一方面，根據笛卡兒關於幾何學的另一種觀點，畢達哥拉斯定理則是一條公理。
因此，我們要接受的首要事情是，即使在數學裡，你也可以從不同的地方出發。如果所有定理都是由推理互相聯結在一起的，就沒有真正的理由說“這些就是最基本的公理”，因為如果有人告訴你某種別的做法，你也能夠進行別種途徑的推理。這就正如一座橋樑，它是由非常多的元件構成的，並且它們之間做了許多超出必需數量的聯結，那麼如果失落了某一些構件，你就能夠以另一種方式把它們重新聯結起來。今天的數學傳統是從選取了一些特殊觀念並且把它們約定為公理開始的，然後再從那些公理建立起整個理論結構。我稱為巴比倫派數學家的人則會說，“我正好知道這個，並且我正好知道那個，而且我也許知道那個；然後我就從那裡做出所有東西來了。到了明天，也許我忘記了這種方法是行得通的了，但我記得另外有種方法是行得通的，於是我把它全部重新構造出來。我永遠不十分肯定我應該從哪裡開始，又應該在哪裡結束。我只是時時刻刻都記得足夠多的東西，以便在記憶消退或者其中一些部分失落之時，我每天都能夠把那些東西重新拼接到一起。”
總是從一些公理開始的方法，在推導定理方面效率不是很高。要從在幾何學裡推出什麼東西的時候，如果每一次都回到從幾條公理出發的方法，那麼你的效率不會很高。如果你記住了幾何學裡的幾樣東西，你總能夠推演前進到別的地方，不過用別的方法效率要高得多。決定了哪一些是最好的公理之後，不一定就找到了在整個領域內進行推理的最佳方法。在物理學裡我們需要巴比倫人的方法，而不是歐幾里得或者希臘人的方法，我下面將會解釋這是為什麼。
歐幾里得方法的問題是，把關於公理的某些東西看成是更有意義或者是更加重要。但是，例如，在引力的情況中我們要問的問題是：說力朝向太陽，或者說在相等時間裡掃過相等的面積，哪一個說法更重要、更加基本，或者是一條更好的公理呢？從一種觀點來看，關於力的陳述更好。如果我陳述的是力的性質，我就能夠處理由許多粒子組成的系統，其中各個粒子的軌道不再是橢圓了，因為力的陳述告訴了我各個粒子之間是怎樣互相拉動的。在這種情況下關於相等面積的定理不再適用。因此我想，應當把力的定理而不是把別的什麼當作公理。然而，另一方面，等面積原理也可以推廣成適用於由許多粒子組成的系統的另一條定理。這條定理說起來頗為麻煩，而且也不像原先關於等面積的陳述那樣漂亮，但它也明顯是從原先的定理衍生出來的。取一個由多個質點組成的系統，也許是由看作質點的木星、土星、太陽以及一大堆星星組成的一個體系，它們兩兩之間都有相互作用，並且離遠看投影到一個平面上（圖12）。
各個質點分別沿著不同的方向運動，我們取任意一點做參考點，然後計算從這一點到每一個質點的半徑掃過多大的面積。在這種計算中，加進了質量的因子；如果一個質點的質量是另一個的兩倍，掃過的面積就要算兩倍。因此我們計算的是質點的過空間的面積再乘上與其質量成比例的因子，把這些乘積都加在一起得到的總結果不隨時間變化。這個總量叫作角動量，而這一規律叫作角動量守恆定律。守恆的意思正是它不隨時間而變。
這一定律的一個結果是這樣的。設想有一大堆恆星墜落到一起形成了一個星雲或者星系。最初它們距離中心甚遠，也即其半徑很長。這時它們緩慢地移動，在單位時間內掃過一塊小面積。當它們走近時它們到中心的距離就會縮短，而當它們靠得很近時半徑會變得很小；因而，為了在單位時間裡掃過同樣的面積，它們的運動必定要快得多。那麼，你會看到當所有的恆星聚攏來的時候，它們越來越快地邊搖晃邊打旋，於是我們就能夠大致理解螺旋狀星雲的形狀了。我們也能夠以同樣的方式理解一名溜冰者的自轉。他開始的時候把腿伸出去，緩慢地轉動，然後他把腿收回，就能夠快速地自轉了。當腿伸出去時，它貢獻了可觀的每秒掃過的面積，而後當他收回他的腿時，他就必須飛快地自轉，以產生同樣數量的面積。但我不是為溜冰者做這番論證的溜冰者用的是肌肉的力量，而引力則是一種不同的力。然而這條定律對溜冰者也是適用的。
現在我們有一個問題，我們能夠從物理學的一個部門，例如引力定律，推匯出一條原理，而這條原理的有效性又比推導本身要廣泛得多。在數學裡不會出現這種情況；數學定律不會出現在沒有預料到的那些地方。換句話說，假如我們說物理學的公設是引力的等面積定律，於是我們就可以推出角動量守恆，但只是對引力問題有效。然而，我們從實驗發現了，角動量守恆是一樣意義廣泛得多的東西。牛頓有其他一些公設，他可以由此推出更加普遍的角動量守恆定律。但牛頓的那些定律是錯的。沒有力，它就是一堆廢話，質點沒有軌道，如此等等。然而，這種類比，關於面積的原理同角動量守恆的精確轉換仍然成立。在量子力學的原子運動裡它亦成立，並且就我們所知，今天它依然精確地成立。我們有這些意義廣泛的原理，從它們可以得出各種不同的定律，如果我們把推導過程看得太重要，並且覺得一條定律能夠成立只是因為另一條定律成立，那麼我們就難以理解物理學的各個不同分支之間的相互聯絡。有朝一日物理學完成了，我們掌握了所有的定律，那時候我們也許可能從某些公設開始，無疑有人會想出一種特別的方法，能夠從這些公設出發推匯出所有的其他東西來。但我們現在還不知道所有的定律，我們能夠運用某些定律來猜出一些現在還證明不了的定理。為了理解物理學，人們總是要在邏輯上保持一種靈巧的平衡，並且在他們的腦子裡總要記住所有不同的命題以及它們之間的相互關係，因為新的定律往往是在能夠從它們推匯出來的範圍之外。如果所有定律都已知曉，這種做法就不再重要了。
忘懮2022-04-05 03:07:46物理學正在做的事情不就是一種公理化麼？
但你要是問這一公理化能否完成，那情況很不樂觀
