“XJTU數學僧刷書參考”計劃草稿——拓撲學·代數拓撲
2022。03。09
朋友發現這篇文章被其他使用者不規範轉載了，這裡再嘮叨一句：轉載是好事，我相信你的初衷也是好的，但請轉載的時候標明原作者和出處哈，這樣是對彼此的尊重～
另外這裡把上學期的筆記也分享給大家 Merry教授上課時調整了講義裡幾個小節的行文順序
Algebraic Topology I Fall 2021 by Will J。 Merry。pdf
166。8M
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百度網盤
許多同學希望附上習題的解答，我會逐步上傳在網盤裡，但這裡囉嗦一下哈：一定要自己思考（！），哪怕第一遍的時候不能完全做出來也沒關係，因為如果是你思考了很久但卡在了某一步，之後再看參考答案作為提示的話，你會對這裡的印象非常深刻（為什麼他的證明能過得去？他運用了什麼樣的技巧/構造？問題的難點在哪裡？……當你搞明白了這些問題，或許這道題就真正理解了）。另外，參考解答裡的方法也不見得是最好的，在對講義內容熟練後再回看這些題目，可能你還會有新的發現——原來第一次遇到覺得困難的東西竟是如此地“自然”，相信這時你會覺得眼前一片豁然開朗。
鴿了一年，我們終於又更新了～～～～～
本次推薦的是Will J。 Merry教授的
代數拓撲Ⅰ & Ⅱ的講義
（嚴格來講並不是書，但anyway……），見他的個人主頁（這裡也有一些他寫的其他的課程講義，比如動力系統、微分幾何等等，都是一年的課程講義）——
在這學期，我修讀了Merry教授的代數拓撲Ⅰ，這門課基本上是按照講義的內容進行的，只是節奏“略”快……或許是Merry教授馬上要離開ETH去劍橋的緣故，在十三週的時間裡，我們從Lecture 1進行到了Lecture 30（講義總共只有46個lecture！），主要內容涵蓋幾個方面（括號裡的東西是我覺得比較有意思/特色的地方）：
基本群的回顧
（以範疇的語言重述並證明了Seifert-van Kempen定理）
奇異同調
（包括對對映度三種定義等價性的討論、（濾過）餘極限、Jordan-Brouwer分離定理和它們在微分幾何中的應用，諸如Borsuk-Ulam定理和Invariance of Domain定理等等）
胞腔同調
（包括相對同胚定理、cell-like filtration的引入和Cellular Boundary Formula等等）
公理同調論
（包括同調代數中的比較定理、Eilenberg-Steenrod公理、弱形式的唯一性定理的證明和Acyclic Models定理）
上同調初步
（包括對函子
和
的討論及Tor和Ext的基本性質、萬有係數定理、Eilenberg-Zilber定理、代數/拓撲Künneth定理和它們對應的上同調版本）
因為考試，我（不得不）將這份講義的前29個Lecture和習題來來回回翻了不少遍，給我留下印象最深的地方就是
清晰易讀
和
簡潔乾淨
，許多定理/命題的
證明非常漂亮
。Merry教授上課的講解更是利用不同顏色的板書等技巧讓證明一目瞭然，例如Cellular Boundary Formula的證明：
Cellular Boundary Formula的證明
其次，講義中的一些說
明性的文字
也令人茅塞頓開，例如在介紹Steenrod-Eilenberg公理之後的一個附註裡，Merry教授提到：胞腔復形的重要性之一體現在如下結果之中——
任何空間都弱同倫等價於一個胞腔復形。
實際上，我們有一個胞腔逼近函子：
和一個自然變換
，其中
，使得
為弱同倫等價，從而胞腔同調
構成一個公理同調理論。
第三，講義介紹了一些
代數拓撲與微分拓撲等領域的聯絡
。例如，在講義的開篇，我們就是以Brouwer不動點定理的代數拓撲證明這一例子來引入代數拓撲這一學科的，而Merry也簡述了這一結果的微分拓撲的證明；在介紹對映度的小節中，我們證明了Hairy Ball定理，得到了“奇對映的對映度為奇數”，從而“若群
自由作用在
上，那麼
或
平凡”；而在作業題中我們更是要利用對映度的性質完成Borsuk-Ulam定理和Lusternik-Schnirelmann定理的證明……
總而言之，我認為這是一份入門代數拓撲的極佳講義：Merry教授
將範疇論的觀點循序漸進地融入代數拓撲
，在講義正文與作業題中又
引導我們探索發現各種代數構造的性質
（如群的自由積的萬有性質、短正合列分裂性的等價刻畫、函子Tor和Ext的性質等等）、
幾何應用
，使得
這份講義具有濃厚的代數風味
，而又不時
點綴著與拓撲幾何的雅趣
。
當然，我認為這份講義也有缺點：
第一，
缺少具體例子的支撐
。講義中的計算主要是利用Mayer-Vietoris序列展示了n維球的同調如何計算、利用胞腔分解展示了n維實射影空間的同調如何計算等等，作業題往往也更重視在抽象的正合列中完成追圖（如三元組的長正合列、Barrat-Whitehead引理），缺少對具體例子的計算，如“挖去圓盤中的兩個不交小圓盤，順時針粘合三個邊界圓所得的閉曲面的同調如何計算”？
第二，
對胞腔同調的敘述過於縮略
。在講義中只是對胞腔同調的拓撲性質進行了簡要的概括，將一切證明都留給了讀者。而對於給定閉曲面如何尋找胞腔分解、乘積空間的胞腔分解等等這些問題都沒有給出答案。
第三，
對於前文熟練度的要求比較高
。對於初學者而言，Mayer-Vietoris序列、二/三元組的正合序列、Excision等等或許接受起來需要一定時間，而Merry講義中在證明將這些序列運用地非常靈活，再加上不斷引用前文證明的各種結果，若是讀者不夠熟練怕是需要花費些許時間對此細細揣摩。
不過，我相信這些缺點都“瑕不掩瑜”。在複習的過程中，我經歷了不少恍然大悟的瞬間，也被代數拓撲中的許多想法和神奇的事實所驚豔，如今回看已覺收穫頗豐。
最後，附上Merry教授的講義（18版本）吧。
Algebraic Topology Ⅰ & Ⅱ， William J。 Merry。pdf
8。3M
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Differential Geometry， William J。 Merry。pdf
3。1M
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Sixty Lectures of Dynamical Systems， William J。 Merry。pdf
9。5M
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Solutions A-M。pdf
6。8M
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Problems of Differential Geometry， by William J。 Merry。pdf
10。7M
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筆者：Algebro
2022年2月8日
