1.7~1.10米哈伊洛夫判據、哈里託諾夫定理、格朗沃爾引理及其推廣、可變矩陣線性系統的穩定性

作者：由 Hreyulog 發表于書法時間：2020-06-03

封面：倫勃朗《一個女人的半身像》，1630

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七、米哈伊爾洛夫判定（Критерий Михайлова）

令

為帶有實係數的

$n\geq1(a_0>0,a_n\ne0)$

階標準多項式。

定義一

在複平面上滿足函式

$z=f(i\omega)(0\leq\omega<+\infty)$

的曲線叫作

米哈伊爾洛夫矢端曲線

引理一

n階的標準多項式

，不含複數解，有含有

（

$0\leq m \leq n$

）個解的正實部（考慮到其多重性），當且僅當非零向量

$f(i\omega)$

角

$\Phi$

逆時針旋轉，其中遞增引數

$\omega$

從0到

$+\infty$

$\Phi=\frac\pi2(n-2m)$

（證明若需要，我會補充）

定理一 (米哈伊爾洛夫判定)

$n\geq1$

階標準多項式f(z)無復根，為赫爾維茨多項式的充分必要條件為：

$\Phi=\frac\pi2*n$

即：向量

$f(i\omega)$

逆時針旋轉角遞增引數

$\omega$

在

$(0,+\infty)$

為

$\frac\pi2*n$

推論一

若

階的標準多項式有

$\Phi<\frac\pi2*n$

，則其不為赫爾維茨多項式。

在下面的定理中我們會分析向量

$f(i\omega)$

的

$\omega$

在

$(0,+\infty)$

上的特徵變化，我們說實半軸上

，不是半平面，而是實軸在正負平面的那一部分。我們也會類似的用於複平面的虛軸。

定理二

若

階標準多項式有：

$\Phi=\frac\pi2*n$

，其為赫爾維茨多項式。

相反的，若

階標準多項式

的米哈伊爾洛夫矢端曲線無復解，正軸

的點

，

$\omega$

在

$(0,+\infty)$

依序穿過第

軸

漸近接近第

個軸，

為赫爾維茨多項式。

（證明若需要，我會補充）

我們來看例題：

例題1

標準多項式

解：對於其有：

$f(i\omega)=(-4\omega^2+1)+i\omega(-\omega^2+9)$

。矢端曲線與座標軸

交點為

$\omega_1=0;\omega_2=\frac1 2;\omega_3=3$

，

$f(i\omega_1)=1;f(i\omega_2)=i\frac{35} 8;f(i\omega_3)=-35$

，如圖：

在變化引數

$\omega$

在

$(0,+\infty)$

，矢端曲線從軸

上點

出發逆時針移動，依次穿過座標軸

。除此之外，在

$\omega\rightarrow+\infty$

，有

$-4\omega^2+1\rightarrow-\infty$

和

$\omega(-\omega^2+9)\rightarrow-\infty$

。變數

$\omega$

的次數在復部大於實部。根據定理二，

為赫爾維茨多項式。

我們接著看標準多項式

為赫爾維茨多項式的充分必要條件

我們將

$f(i\omega)$

的實部

和虛部

表示。

$f(i\omega)=g(\omega)+ih(\omega)\\ g(\omega)=a_0-a_2\omega^2+a_4\omega^4-a^6+...,\\ h(\omega)=a_1\omega-a_3\omega^3+a_5\omega^5-a_7\omega^7+...$

為偶，

為奇函式

定理三 n階的標準多項式為赫爾維茨多項式，充分必要條件為：多項式

$g(\omega)$

和

$h(\omega)$

在和有

個非負根。這些根互相不重合，且相互穿插；即：

$0=\omega_1<\omega_2<...<\omega_n,\\ g(\omega_{2k})=0,h(\omega_{2k-1})=0,k=1,2,3,...$

除此之外，

（證明若需要，我會補充）

說明：關於多項式

有

$h(\omega)>0\quad \forall\omega\in(\omega_1,\omega_3);\quad g(\omega)>0\quad\forall\omega\in(\omega_1,\omega_2)\\h(\omega)<0\quad \forall\omega\in(\omega_3,\omega_5);\quad g(\omega)<0\quad\forall\omega\in(\omega_2,\omega_4)\\h(\omega)>0\quad \forall\omega\in(\omega_5,\omega_7);\quad g(\omega)>0\quad\forall\omega\in(\omega_4,\omega_6)\\...$

八、哈里託諾夫定理（Теорема Харитонова）

當建立對某些實際過程建模的微分方程組時，不可避免會出現誤差和錯誤，並且導致數學模型中的引數和係數無法準確確定。通常可以以指定該係數或該係數應屬於的時間間隔。若指定的數學模型為具有常數係數的線性齊次微分方程，那麼所指出的不準確性會出現在特徵多項式的係數中。眾所周知，其根在複平面上的位置會顯著影響系統的穩定性和漸近穩定性。在這方面，從實踐的角度來看，赫爾維茨多項式充分必要條件為係數間隔一定的所有多項式。這些條件如下。

定理一(哈里託諾夫) 區間多項式為赫爾維茨多項式，其充分必要條件為:下面四個多項式為赫爾維茨多項式：

$f_1(z)=\overline{a_0}+\underline{a_1}z+\underline{a_2}z^2+\overline{a_3}z^3+\overline{a_4}z^4+...,\\ f_2(z)=\underline{a_0}+\overline{a_1}z+\overline{a_2}z^2+\underline{a_3}z^3+\underline{a_4}z^4+...,\\ f_3(z)=\overline{a_0}+\overline{a_1}z+\underline{a_2}z^2+\underline{a_3}z^3+\overline{a_4}z^4+...,\\ f_4(z)=\underline{a_0}+\underline{a_1}z+\overline{a_2}z^2+\overline{a_3}z^3+\underline{a_4}z^4+...,\\$

（證明若需要，我會補充）

推論一

在

，區間多項式為赫爾維茨多項式，充分條件為有一個

為赫爾維茨多項式；在

時，充分條件為兩個多項式

為赫爾維茨多項式；

時三個多項式

為赫爾維茨多項式。

九、格朗沃爾引理及其推廣（Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения）

1.格朗沃爾引理：

令

$u(t),f(t)\in C_{[t_0,+\infty)}$

，對於所有的

$t\geq t_0$

，有

$u(t)\geq0,f(t)\geq0$

。

若在

：

$u(t)\leq c+\int_{t_0}^{t}f(\tau)u(\tau)d\tau\quad\forall t\geq t_0$

則：

$u(t)\leq c*exp\int_{t_0}^{t}f(\tau)d\tau\quad\forall t\geq t_0$

。（證明若需要，我會補充）

2.廣義的格朗沃爾引理：

令

$u(t),f(t)\in C_{[t_0,+\infty)}$

，對於所有的

$t\in(a,b)$

，有

$u(t)>0,f(t)\geq0$

，其中

$u(t)\leq u(\sigma)+|\int_\sigma^1f(\tau)u(\tau)d\tau|\quad\forall t,\sigma\in(a,b)$

則：

$u(t_0)*exp(-\int_{t_0}^tf(\tau)d\tau)\leq u(t)\leq u(t_0)*exp(\int_{t_0}^tf(\tau)d\tau)\quad\forall t_0,t:a<t_0\leq t<b$

（證明若需要，我會補充）

3.比哈爾引理(Лемма Бихари)：

令

$u(t),f(t)\in C_{[t_0,+\infty)}$

，對於所有的

$t\in(a,b)$

，有

$u(t)>0,f(t)\geq0$

，其中

$u(t)\leq c+\int_{t_0}^{t}f(\tau)u(\tau)d\tau\quad\forall t\geq t_0$

$\int_{t_0}^{t_1}f(\tau)d\tau<\frac 1 {(m-1)*c^{m-1}}\quad\forall t\geq t_0$

在這裡

和

為一些正的餘項

所以有：

$u(t)\leq \frac c {[1-(m-1)*c^{m-1}*\int_{t_0}^tf(\tau)d\tau]^{\frac 1 {m-1}}}\quad\forall t\geq t_0$

（證明若需要，我會補充）

十、可變矩陣線性系統的穩定性

1.有幾乎恆定的矩陣的線性系統穩定性:

定理一：

令線性系統：

$\frac {dx}{dt}=A*x\quad (t\geq0)$

，這兒

——

穩定的恆定矩陣。則其系統：

$\frac{dy}{dt}=(A+B(t))*y\quad(t\geq0)$

，在這裡矩陣

$B(t)\in C_{[0,+\infty)}$

$\int_0^{+\infty}||B(t)||dt<+\infty$

（證明若需要，我會補充）

例題一

：

解：我們寫做：

$\left\{ \begin{array}{**lr**} x$

$\begin{bmatrix}x$

$A=\begin{bmatrix}0&1\\-a^2&0\end{bmatrix}；B=\begin{bmatrix}0&0\\-\frac b {(t+1)^2}&0\end{bmatrix}$

我們求特徵值：

$det(\lambda E-A)= \left|\begin{array}{cccc} \lambda&-1\\a^2&\lambda \end{array}\right| =\lambda^2+a^2=0$

得到：

$\lambda_{1,2}=\pm |a|*i$

，

線性系統：

$\begin{bmatrix}x$

穩定。

$||B||=\frac {|b|}{(t+1)^2}\quad \forall t \geq0$

，即：

$\int_0^{+\infty}||B(t)||dt<+\infty$

所以系統（*）穩定。

好吧我們再看漸近穩定性：

定理二

若線性齊次系統

$\frac{dx}{dt}=A*x\quad(t\geq0)$

和恆定矩陣

漸近穩定，則其擾動的線性系統

$\frac{dy}{dt}=(A+B(t))*y\quad(t\geq0)$

也是。這裡

$B(t)\in C_{[0,+\infty)},B(t)\rightarrow0(t\rightarrow+\infty)$

（證明若需要，我會補充）

推論1

令

——非負整數，線性方程

$\frac{dy}{dt}=(A_mt^m+A_{m-1}t^{m-1}+...+A_0)*y\quad(t\geq0)$

，這裡固定矩陣係數

漸近穩定，若特徵方程

$det(\lambda E-A_m)=0$

所有的根實部為負

（證明若需要，我會補充）

例二

$\frac {dx}{dt}=-\frac x {t+1}\quad(t\geq0)$

的通解

$x=\frac c {t+1}$

漸近穩定，同時方程

$\frac{dy}{dt}=(-\frac 1 {t+1}+\frac 2 {t+1})*y$

的係數與原始方程的係數相差一個無窮小函式

$\frac 2{t+1}$

$(t\rightarrow\infty)$

，不穩定，因為它的通解

在

$t\geq0$

上無界。

2.瓦澤夫斯基不等式

（Неравенство Важевского）該不等式是研究帶有可變矩陣的線性齊次微分系統解的穩定性的有用工具。

定理三

對於線性系統

$\frac{dx}{dt}=A(t)*x$

（

$A(t)\in C_{[0,+\infty)}$

）（6）

有瓦澤夫斯基不等式：

$||x(0)||*exp\int_0^1\lambda(\tau)d\tau\leq||x(t)||\leq||x(0)||*exp\int_0^1\Lambda(\tau)d\tau\quad\forall t\geq0$

這裡

為向量x的歐幾里得範數，

$\lambda(t),\Lambda(t)$

為最小最大矩陣

$A^H=\frac 1 2(A(t)+A^T(t))$

的特徵值，這裡

為轉置。（證明若需要，我會補充）

推論2

充分存在

，對於線性系統（6）的漸近穩定性，有

$\Lambda(t)\leq-h<0\quad\forall t\geq0$

推論3

若

$\int_0^t\Lambda(\tau)d\tau$

在

$t\geq0$

時上方有界，則系統（6）穩定

若

$\int_0^t \Lambda(\tau)d\tau\rightarrow-\infty(t\rightarrow+\infty)$

，則系統（6）漸近穩定

推論4

若

$\int_0^t\Lambda(\tau)d\tau$

在

$t\geq0$

時上方無界，則系統（6）不穩定。

例題3

分析系統的漸近穩定性：

$\left\{ \begin{array}{**lr**} x$

這裡

$A(t)=\begin{bmatrix}-t&\sqrt t-2\\\sqrt t+2&ln(1+t)-t\end{bmatrix},A^H(t)=\begin{bmatrix}-t&\sqrt t\\\sqrt t&ln(1+t)-t\end{bmatrix}$

求特徵值唄

$det(A^H(t)-\lambda E)=\left|\begin{array}{cccc} t-\lambda&\sqrt t\\\sqrt t&ln(1+t)-t-\lambda \end{array}\right| =0$

得到：

$\Lambda(t)=\frac{-2t+ln(1+t)+\sqrt{4t+ln^2(1+t)}}{2}$

計算：

$\int_0^t\Lambda(\tau)d\tau=\frac1 2\int_0^t(-2\tau+ln(1+t)+\sqrt{4\tau+ln^2(1+\tau)}d\tau\rightarrow-\infty(t\rightarrow+\infty)$

得出系統漸近穩定

3.穩定與漸近穩定的必要條件

用

表示線性系統的基本矩陣並寫出劉維爾公式（формула Лиувилля）

$det(X(t))=det(X(0))*exp\int_0^1SpA(\tau)d\tau$

，在這裡

$SpA(\tau)$

為矩陣

的跡，即：

$SpA(t)=\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}(t)}$

定理四

線性系統（6）穩定的必要條件為

$\int_0^1SpA(\tau)d\tau$

在

$t\geq0$

上方有界，即：

$\exists$

，

$\int_0^1SpA(\tau)d\tau\leq M\quad\forall t\geq0$

定理五對於線性系統的漸近穩定的必要條件為：

$\int_0^tSpA(\tau)d\tau\rightarrow-\infty\quad t\rightarrow+\infty$

例題4

線性非平穩系統：

$\left\{ \begin{array}{**lr**} x$

解：跡為

$SpA(\tau)=1-cost-te^{-2t}$

$\int_0^1SpA(\tau)d\tau=\int_0^t(1-cos\tau-\tau e^{-2\tau})d\tau=t-sint+\frac 12te^{-2t}+\frac14e^{-2t}-\frac14\rightarrow+\infty;t\rightarrow+\infty$

根據定理四，該系統不穩定。

以上來自《Теория устойчивости движения（運動穩定性理論）》第一章線性系統的穩定性，

經作者授權，本人翻譯，

嚴禁轉載

。

作者：諾根（Ногин В。Д。）數學-力學博士，聖彼得堡國立大學應用數學與過程控制系控制理論教研室教授

國際高等科學院院士（1999年），被授予蘇聯國家公共教育委員會最佳科學工作一等獎（1988年），並於2009年獲得了聖彼得堡國立大學“教學卓越獎”。Multiple Criteria Decision Making成員，Multiple Criteria Decision Aiding成員，International Journal of Decision Support Systems成員。

標簽：多項式維茨赫爾線性系統漸近

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