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行列式和跡(3)：跡是行列式的微分

作者：由 Xipan Xiao 發表于書法時間：2021-12-16

上篇提到，

跡函式

是

$\det$

在

處的微分

。全體

階方陣空間自然跟

$\mathbb{R}^{n\times n}$

等同，從而有光滑結構，可以做微分。行列式函式

$\det$

是每個矩陣元素的多項式，自然是光滑的。任取一個方陣

，它是線性空間

$\mathbb{R}^{n\times n}$

的一個向量。考慮經過單位矩陣

的一條光滑曲線

$\gamma(t) = I + tX$

，

則

$X=\gamma$

是它在

$\gamma(0)=I$

處的切向量。不失一般性，假設

已經化成了它的復若當標準型（否則的話若

$X=P J P^{-1}$

，則

$\det(\gamma(t))=\det(I +t J)$

）。從而

$\begin{align*} \det(\gamma(t)) &= (1+t\lambda_1)\cdots (1+t\lambda_n)\\ &= 1 + t(\lambda_1+\cdots+\lambda_n) + \cdots\\ &= 1 + t\cdot tr(X) + \cdots \end{align*}$

從上面這個展開式，我們得到跡

是

$\det$

在

處的微分：

$\left. \frac{d}{dt}\det(\gamma(t))\right|_{t=0} = tr(\gamma$

。

下篇將用李群的語言給出這個結論的另一個證明。

幾何上的解釋

矩陣

的行列式，是它的列向量張成的平行多面體的體積。當

，它的列向量是座標單位向量

$e_1, \cdots, e_n$

。如果我們把

沿著同一方向拉長一點，變成

$(1+t\lambda_1)e_1$

，而其它列向量都不變，體積的變化是

$\begin{align*} \Delta V &= \det((1+t\lambda_1)e_1, \cdots, e_n) - \det(e_1, \cdots, e_n)\\ & = (1+t\lambda_1)-1\\ & = t\lambda_1 \end{align*}$

如果

的改變不平行於

，也就是如果

變成

，而

不在

的方向上，如下圖。那麼水平方向上的投影部分才有效：平行四邊行的體積等於底邊乘以高。所以面積的增量，也就是下圖陰影部分的面積，只跟

的水平分量

$e_1\cdot x_1$

成正比。當所有的列向量都發生變化時，總的增量正比於

$\sum e_i\cdot x_i = \sum e_i\cdot Xe_i = tr(X)$

。

在子流形上的限制

當我們限制在

$\mathbb{R}^{n\times n}$

的一個子空間，比如全體可逆矩陣空間

，或者全體正交矩陣

時，上述曲線

$\gamma(t)$

並不一定在這個子空間內。但是因為函式限制和微分可以交換，取微分將得到同樣的結果：不管是在哪個子流形裡，

$\det$

在

處的微分都是

。

標簽：向量微分矩陣空間光滑

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