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度量空間(5): 完備度量空間

作者：由 ZCC 發表于 書法時間：2020-05-31

完備度量空間的概念在上一節提到了， 同時還指出了完備度量空間的閉子空間仍是完備度量空間。 本節繼續整理完備度量空間的相關內容。 實際上完備度量空間的有關內容與其說屬於點集拓撲， 不如說更貼近於泛函分析。 之後會看到， 完備度量空間和區域性緊緻豪斯道夫空間有很多相似的性質（本質上可能是因為緊緻鄰域基的存在和閉集套定理）， 這又進一步抽象出Baire空間的概念。

目錄

完備度量空間的性質

度量空間的完備化

完備度量空間的性質

在沒有特別說明的情況下， 給定度量空間

(X,d)

。

定理5.1.1:

設

Y\subseteq X

， 若

Y

準完備（

見上一節的定義

） 則

c(Y)

準完備。

證明:

任取

c(Y)

中的柯西列

\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}

。 對每一個

i\in\mathbb{N}^+

， 顯然存在

y_i\in Y

滿足

\quad d(x_i,y_i)<\frac{1}{i}

注意到

\quad \begin{align} d(y_i,y_j)&\leq d(y_i,x_i)+d(x_i,x_j)+d(x_j,y_j)\\[2ex] &<\frac{1}{i}+\frac{1}{j}+d(x_i,x_j)\\[2ex] \end{align}

因此

\{y_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}

是

Y

中的柯西列， 設收斂於

x\in X

。

\quad \begin{align} d(x,x_i)&\leq d(x,y_i)+d(y_i,x_i)\\[2ex] &<d(x,y_i)+\frac{1}{i}\\[2ex] \end{align}

因此

\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}

收斂於

x

， 故

c(Y)

準完備。

推論:

若

X

有一個稠密的準完備子集， 則

X

是完備度量空間。

定理5.1.2:

對於有限個完備度量空間

(X_i,d_i)

（

i=1,2,···,n

）的積空間

X

， 存在

X

上的度量

d

使得

(X,d)

是一個完備度量空間。

提示:

取

d(\overset{\rightarrow}x,\overset{\rightarrow}y)=\underset{1\leq i\leq n}{max}\ d_i(x_i,y_i)

定理5.1.3(閉集套定理):

設

X

完備， 且有一列非空遞降閉子集

\quad A_1\supseteq A_2\supseteq ···

則

A=\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

非空； 若

diam\ A_i\rightarrow0(i\rightarrow\infty)

， 則

A

是單點集。

證明:

對每一個

i\in\mathbb{N}^+

， 任取

x_i\in A_i

， 則有

\quad\{x_i,x_j\}\subseteq A_{max\{i,j\}}

從而

\quad d(x_i,x_j)=diam\{x_i,x_j\}\leq diam\ A_{max\{i,j\}}

故

\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}

是一個柯西列， 從而可設收斂於

x\in X

。

由條件可知

j\geq i\Rightarrow x_j\in A_i

， 因此易得

x\in A

。

當

diam\ A_i\rightarrow0(i\rightarrow\infty)

是利用度量的正定性很容易說明

A

是單點集， 這一點論證留給讀者。

接下來的幾個定義與Baire空間有關。 下面的定義5。1。4和5。1。5對一般的拓撲空間同樣適用。

定義5.1.4:

A

，

B

是

X

的子集

若

B

（作為子空間）的任意開子集都與

A

相交， 則稱

A

在

B

中稠密（dense）

若

B

（作為子空間）的任意開子集（作為子空間）都存在一個開子集包含在

B-A

中， 則稱

A

在

B

中無處稠密（nowhere dense）。

定義5.1.5:

A

是

X

的子集

若

A

在

X

中稠密， 則稱

A

是（

X

的）稠密集。

若

A

在

X

中無處稠密， 則稱

A

是（

X

的）稀疏集。

若

A

是可數個稀疏集的並， 則稱

A

是第一綱集（first category set）； 否則稱為第二綱集。

註記:

A

稠密當且僅當

c(A)=X

；

A

稀疏當且僅當

i(c(A))=\varnothing

。 稀疏集的補自然是稠密集， 但反過來不一定。

定理5.1.6(Baire綱定理):

設

X

是完備度量空間， 則

X

中可數個稠密開集的交仍是稠密集。

X

中的非空開集都是第二綱集。

這個結果（及其證明）在這個系列中相當重要。

證明:

先證第一條。

設

G_i

（

i\in\mathbb{N}^+

）是

X

中可數個稠密開集（不失一般性我們只考慮可數無窮的情況）， 設

G=\bigcap_{i=1}^{\infty} G_i

。

任取

x_0\in X

和

x_0

的開鄰域

U_0

， 只需證明

U_0\cap G\ne\varnothing

。

接下來歸納定義

x_i\in X

和

x_i

的開鄰域

U_i

。 假設已經定義好了

x_{i-1}

和相應開鄰域

U_{i-1}

。

由

G_i

稠密有

U_{i-1}\cap G_i\ne\varnothing

。 故可取

x_i\in U_{i-1}\cap G_i

。

注意到

U_{i-1}\cap G_i

是

x_i

的開鄰域， （利用正則性）存在

\varepsilon_i\in(0,\frac{1}{i})

滿足

\quad x_i\in c(B(x_i,\varepsilon_i))\subseteq U_{i-1}\cap G_i

取

U_i=B(x_i,\varepsilon_i)

。

這樣我們構造了一列非空遞降閉集

\quad c({U_{1}})\supseteq c({U_{2}})\supseteq···

於是由定理5。1。3，

F=\bigcap_{i=1}^{\infty} c(U_i)

非空， 但注意到

\quad c(U_i)\subseteq U_{i-1}\cap G_i

因此

F\subseteq\bigcap_{i=1}^{\infty} (U_{i-1}\cap G_i)\subseteq U_0\cap G

從而

U_0\cap G

非空，

G

稠密， 證畢。

運用類似的方法， 可以證明區域性緊緻豪斯道夫空間也有這樣的性質（因此完備度量空間不是本質的原因）， 關鍵的步驟是閉集套的構造， 關鍵的資訊是閉集套有非空交。

再證第二條。

任取

X

中非空開集

U

， 假設

U

是第一綱集， 則存在一列稀疏集

F_i

使得

\quad U=\bigcup_{i=1}^{\infty} F_i\Rightarrow U\subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty} c(F_i)

注意到

c(F_i)^c

是稠密開集， 利用我們剛證明的結果， 有

\quad A=\bigcap_{i=1}^{\infty} c(F_i)^c=\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} c(F_i)\right)^c

是稠密集， 但

U\subseteq A^c

矛盾！ 故

U

是第二綱集。

可以看到利用第一條很容易證明第二條， 甚至沒有用到完備度量空間的性質， 即我們實際上證明了對任何拓撲空間第一條蘊含第二條； 實際上還可以證明第二條同樣蘊含第一條， 即這兩條性質等價。 滿足這兩個條件的拓撲空間稱為Baire空間。 以後會證明比這個結果更強的結果。

度量空間的完備化

設

(X,d)

是度量空間。

定義5.2.1:

若有一個完備度量空間

(X^*,d^*)

使得存在

X

到

X^*

的保距對映（見定義3。1。2）

f

使得

f(X)

在

X^*

中稠密， 則稱

X^*

是

X

的一個

完備化

。

我們斷言

定理5.2.2:

X

總是存在完備化， 並且對於兩個不同的完備化

X_1

，

X_2

， 存在

X_1

到

X_2

的同距滿射（這時也稱

X_1

，

X_2

同距）。

考慮到證明相當冗長， 故略去； 但我們簡要說一下思路。

存在性的證明思路是直接構造這樣的完備化， 設

\tilde{X}

是

X

中所有柯西列的集合， 在

\tilde{X}

上定義等價關係

\sim

為：

\quad\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}\sim\{y_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}\Leftrightarrow \lim_{i \rightarrow \infty}{d(x_i,y_i)=0}

取

X^*=\tilde{X}/\sim

， 定義

d^*: X^*\times X^*\rightarrow \mathbb{R}

為

\quad d^*([\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}],[\{y_i\}_{i\in\mathbb{N}^+}])=\lim_{i \rightarrow \infty}{d(x_i,y_i)}

其中中括號表示取等價類。 則

d^*

是

X^*

上的度量，

(X^*,d^*)

是

X

的完備化。

至於如何證明

X_1

，

X_2

同距， 同樣是直接構造。

考慮到

X_1

，

X_2

分別存在稠密子集

A_1

和

A_2

均與

X

同距， 因而

A_1

和

A_2

同距， 基於

A_1

到

A_2

的同距滿射， 結合

A_1

和

A_2

的稠密效能夠延拓出

X_1

到

X_2

的同距滿射。

在完備度量空間的討論中， 可分性將會稱為一種比較重要的可數性（以後泛函分析應該會學到）， 不過當然我們前面也提到過在度量空間中， 可分和第二可數等價。

定理5.2.3:

設

X^*

是

X

的一個完備化， 則

X^*

可分當且僅當

X

可分。

證明留給讀者。

下一節考慮的就是度量空間中的緊緻性， 已經緊緻性同完備性的關係， 並將一批數學分析中的結果推廣到完備度量空間中。 如有錯誤， 敬請指出。

系列目錄

基本定義及目錄

度量空間中的拓撲物件

連續對映和距離函式

網和序列

完備度量空間

拓撲完備空間

Baire空間

標簽： 度量  空間  完備  稠密  完備化 

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