如何證明韋達給出的圓周率的計算公式？

作者：由克洛澤丶發表于書法時間：2017-10-29

ZnqbuZ2017-10-29 19:56:32

記

$a_1=\frac{\sqrt{2}}{2},a_2=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},……$

不難發現

$2a_{n+1}^2=a_n+1,a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$

，由遞推式可知數列極限為

，結合式子中有個

$\pi$

，考慮使用三角換元。故猜測數列單調遞增。歸納：若

$a_{n}> a_{n-1}$

，則

，解得

。於是

$a_{n+1}=\sqrt{\frac{a_n+1}{2}}<\sqrt{\frac{1+1}{2}}=1$

，所以

$a_{n+1}> a_{n}$

（否則

$a_{n+1}\geq1$

，矛盾）。

由上，

，故可設

$a_n=\cos\theta_n$

，其中

$\theta_n\in(0,\frac\pi2)$

。代入遞推式，可得

$\cos\theta_n=2\cos^2\theta_{n+1}-1=\cos{2\theta_{n+1}}$

，則

$\theta_{n+1}=\frac12\theta_n$

，又因為

$\theta_1=\frac\pi4$

，所以

$\theta_n=\frac\pi{2^{n+1}}$

。

注意到：

$\prod_{k=1}^{n}{a_k}=\cos\frac\pi4\cdot\cos\frac\pi8……\cos\frac\pi{2^n}=\frac1{\sin\frac\pi{2^n}}\cos\frac\pi4……\cos\frac\pi{2^{n-1}}\cdot\cos\frac\pi{2^n}\cdot\sin\frac\pi{2^n}$

$=\frac1{2\sin\frac\pi{2^n}}\cos\frac\pi4……\cos\frac\pi{2^{n-1}}\cdot\sin\frac\pi{2^{n-1}}=……=\frac1{2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}}$

於是便得：

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}……$

$=a_1\cdot a_2\cdot a_3……=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac1{2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}}}=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac1{2^{n-1}\cdot\frac\pi{2^n}}}$

$=\frac2\pi$

醬紫君2017-10-29 20:14:07

Well，建議發給高中生當課後習題

這個公式發現於1593年

所以原理不會太難，簡單的高中三角函式知識就夠了。

其實就是倍角公式的應用。

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

總知道吧，換種形式寫：

$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$

然後發動

秘技: 反覆迭代

$\begin{aligned} \sin x &= 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}\\ &= 2^2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\sin\frac{x}{4}\\ &= 2^3\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cos\frac{x}{8}\sin\frac{x}{8}\\ &=\cdots \end{aligned}$

n次迭代後就是：

$\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right)$

然後除個x

$\frac{\sin x}{x} = \frac{2^n}{x} \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right)$

對n取極限：

尷尬了，超綱內容，重要極限：

$\lim_{n\to \infty} \frac{2^n}{x} \sin\frac{x}{2^n}=1$

證明：略，請學有餘力的同學自行證明 >>逃

$\frac{\sin x}{x} =\prod_{i=1}^\infty \cos\frac{x}{2^i}$

令

$x=\pi/2$

$\frac{2}{\pi} =\prod_{i=1}^\infty \cos\frac{\pi}{2^{i+1}}=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{16}\cdots$

然後複習餘弦二倍角公式：

$\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$

$\begin{aligned} \cos\frac{\pi}{4}=&\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos\frac{\pi}{8}=&\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+2}\\ \cos\frac{\pi}{16}=&\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}+2}+2}\\ \cdots&=\cdots \end{aligned}$

綜上所述：

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

思考題：維達

Vader

是哪國人？

Tinycup2017-10-30 23:51:34

看起來有點像圓內接正2^n邊形的周長？每個單項是2^n邊形邊長跟2^（n-1）邊形邊長的比沒認真算；）純目測

當然這個形的極限是圓在那個年代/高中水平上也沒有嚴格的證明吧

知乎使用者2021-07-25 19:09:48

給一箇中學生做法

將單位圓用2邊形（兩個直徑），4邊形，8邊形，16邊形，…

邊形，…逼近圓的過程中，你會發現

邊的數量依次翻倍

，

邊的長度（ #FormatImgID_38# ）依次變為原來的#FormatImgID_39#

因此從2邊形（兩個直徑）周長4開始，不斷的乘以2除以

$(2\cos(\frac{π}{2^n}))$

得到

邊形周長，重複上述操作，該多邊形的周長終將趨近於2π。

即

$\frac{2\pi}4=\frac1{ \cos(\frac{π}{4}) }\frac1{ \cos(\frac{π}{8}) }\frac1{ \cos(\frac{π}{16}) }\frac1{ \cos(\frac{π}{32}) }\cdots\frac1{ \cos(\frac{π}{2^n}) }\cdots$