淺談拓撲（六）

作者：由 sola 發表于書法時間：2020-02-15

前幾天本想接著寫，卻又被畢業的事情搞得團團轉。不過也不妨礙，慢慢地寫總有一天能寫完的（現在看來可能再需要一個月才能結束了哈哈）。

這次要說的內容是公理之間的相互聯絡。

首先，由於我們之前一直強調由度量誘導的拓撲具有好的性質，那麼我們來看看從分離公理和可數公理的角度出發，

度量拓撲

究竟好在哪裡。

度量拓撲顯然是C1的，因為

$\forall x\in X$

，

$\left \{ B(x,\frac{1}{n})\right \}_{n=1}^\infty$

都可以作為其一組可數的鄰域基。

度量拓撲顯然是T1的，因為

$\forall x\in X$

，

$X-\left \{ x\right \}$

總是可以寫作若干個開球的並。故

$X-\left \{ x\right \}$

開，

$\left \{ x\right \}$

閉。我們知道：所有單點集閉等價於T1，故得證。

度量拓撲也是T4的。由於拓撲被賦予了度量，事實上任意兩個點之間的“分離性”都是很容易透過度量來界定的。難題在於如何透過度量描述不同元素之間“分離”的性質。

給定不交閉集

，對於

$\forall x\in X$

，我們不妨定義

點到集合之間的距離

：

$d(x,A)=inf_{y\in A}\left \{ d(x,y) \right \}$

，即

到

中所有元素距離的下確界。

由於

為閉集，故他們必定包含了自身的邊界。由於兩個閉集不交，故一個拓撲空間中的點不可能同時處於

的邊界上。這使得我們

透過度量分離不同點

成為可能。

對於兩個不交閉集，下圖所示情形（存在一點同時在兩個閉集邊界上）不可能發生

要證明其滿足T4公理，我們想把所有靠近

的點拿到一起組成

的開鄰域，把所有靠近

的點拿到一起組成

的開鄰域。這意味著：我們只要利用度量定義一個衡量一個點是更靠近

還是更靠近

的標準即可。

我們建構函式：

$f:X\rightarrow [0,1]$

，其中預設

繼承了

$\mathbb{E}^1$

的子空間拓撲。其將拓撲空間中點

對映為

$\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$

。

容易驗證這個函式在度量拓撲中是連續的。（我們可以利用數學分析中的

$\varepsilon$

語言定義驗證）

那麼考慮

$f^{-1}([0,\frac{1}{2})),f^{-1}((\frac{1}{2},1])$

，由於

$[0,\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},1]$

在子空間拓撲中均為開集，故這兩個集合在連續對映下的原像必為

中開集。

注意到

，故

$A\subset f^{-1}(0)$

。同理，

$B\subset f^{-1}(1)$

。

故

$f^{-1}([0,\frac{1}{2})),f^{-1}((\frac{1}{2},1])$

分別為

的開鄰域，且不交，故滿足T4公理。

總結一下，

度量拓撲必定滿足T1，T2，T3，T4，C1性質

，而且

利用度量可以做到元素的恰當分離

。

那麼，度量拓撲一定是C2的嗎？

回答是否定的。簡單的反例就是

$\mathbb{R}$

上的離散拓撲，其可以看作是度量

$d(x,y)= \begin{cases} 0\ \ \ \ x=y\\ 1\ \ \ \ x\neq y \end{cases}$

誘導的。

由於直接證明或證否C2性質都不是一件很簡單的工作，我們介紹一些證明與證否C2公理的方法。他們由定理的形式給出。

定理：可分的度量空間是C2的。

證明：

要證明C2，構造可數拓撲基即可。

假設

為可數子集，且

$\overline{A}=X$

。

直覺告訴我們：

$\mathbb{B}=\left \{ B(a,\frac{1}{n})|a\in A,n\in \mathbb{N} \right \}$

為一組可數拓撲基。

下面我們證明這一點。

對於任意開集

$U,\forall x\in U,\exists \varepsilon >0,B(x,\varepsilon)\subset U$

。（度量拓撲中開集可以任意地小）

由於

$\overline{A}=X$

，我們可以知道在

$B(x,\varepsilon)$

中必定存在不同於

的

中點

。

現在的情形（a點我們還未選定）

回憶我們的目標是：找到

中的開球，其以

中點為圓心，以

$\frac{1}{n}$

為半徑，且包含

。

所以在這裡，我們需要小心地選取這個

點。

我們

希望

：

$B(a,\frac{1}{n})$

被包含在

$B(x,\varepsilon)$

中（這樣其就被包含於

中），且

$x\in B(a,\frac{1}{n})$

。

也就是說，我們的理想情形如下圖所示：

理想中的情形（此時a已經選定）

故我們希望

能滿足如下性質：

$d(x,a)<\frac{1}{n},\varepsilon-d(x,a)>\frac{1}{n}$

為了滿足後一個條件，我們可以

取 #FormatImgID_62#

。為了滿足前一個條件，我們可以

取 #FormatImgID_63# ，使得 #FormatImgID_64#

（這一定能取到，因為

在度量拓撲中開集可以充分地小

，而對於每個含

的開鄰域，其中都必然含有不同於

的

中點

）。

如此一來，我們理想中的情形得以實現。

即

$x\in B(a,\frac{1}{n})\subset U$

。

故

$\mathbb{B}$

為拓撲基，且顯然可數。

注意到在證明過程中，我們用到了度量拓撲的性質：其中開集可以充分地小。這是度量所帶來的非常強大且非常本質的性質！

由這個定理，我們多了一條證明C2公理成立的途徑。

下面，我們再介紹Lindelof定理。

定理（Lindelof）：C2，T3空間是T4的。

證明：

我們取可數拓撲基

$\mathbb{B}$

。一對不交閉集

。

我們想要利用T3公理，故很自然地，取

$\forall x\in E$

，則存在

的不交開鄰域

。

由於

$\mathbb{B}$

為拓撲基，故存在

$B\in \mathbb{B},x\in B\subset Y$

。注意到

$\overline{Y},F$

不交（因為中間隔了個開集

）。

示意圖，B為拓撲基中元素

接下來為了證明T4公理成立，我們想構造

的不交開鄰域。

我們取出

$\mathbb{B}$

中所有閉包與

不交的元素，構成集合

$\left \{ B_1,B_2,... \right \}$

，取出

$\mathbb{B}$

中所有閉包與

不交的元素，構成集合

$\left \{ B_1{$

。

那麼

$F\subset \bigcup_{n=1}^\infty B_n,E\subset \bigcup_{n=1}^\infty B_n{$

。（因為兩個閉集有不交開鄰域）

要構造

的開鄰域，我們需要選取的元素在

中但是並不能在

$B_n{$

中。

不妨令

$U_n=B_n-\bigcup_{i=1}^n\overline{B_i{$

，則其即可作為生成

的開鄰域的一組集合。

同理地，令

$V_n=B_n{$

，作為生成

的開鄰域的一組集合。

注意到

都是

開集

（開集去除了一個閉集），且任意

與

不交

（已經相互去除）。

藍色區域即為V，紅色區域即為U，注意到E最終會全部被藍色覆蓋，F最終會全部被紅色覆蓋

接下來，只需要令

$U=\bigcup_{n=1}^\infty U_n,V=\bigcup_{n=1}^\infty V_n$

，則其即為

的不交開鄰域（注意到對於任意

$x\in F$

，由拓撲基性質，存在

，使得

$x\in B_n\subset U_n\subset U$

，故

$F\subset U$

）。

Lindelof定理告訴我們：T3且非T4的空間一定不是C2的！

這是另一個判定非C2的重要方法！

最後，我們看一個有趣的題目。它會教會我們靈活運用至今為止的知識來認識拓撲空間。

例：

為無理數集，定義 #FormatImgID_109# 上的開集具有形式 #FormatImgID_110# ，其中 #FormatImgID_111# 為 #FormatImgID_112# 中開集，

$A\subset S$

。

在這個拓撲中的所有開集都是歐氏拓撲中的某個開集挖去無理數集的某個子集得到的。

容易驗證這個定義滿足三條拓撲公理，故確實構成拓撲空間。

接下來，我們來思考其是否滿足分離公理與可數公理。

注意到這個空間是

Hausdorff的

。因為對於任意兩個不同實數

，由於歐氏拓撲是Hausdorff的，故存在分別對應的不交開鄰域

。（開性是針對

$\mathbb{E}^1$

而言的）然而

$\mathbb{E}^1$

中開集在這個拓撲中必定仍為開的（取

$A=\varnothing$

即可），故

的開性在這個拓撲空間中也成立。

注意到這個空間

並不是T3的

。

$\mathbb{Q}=\mathbb{R}-S$

為開集，故

為閉集。考慮實數

與閉集

，他們不交。假設他們各自有不交開鄰域

。則

$S\subset V$

，這意味著

#FormatImgID_126#

必定為

$\mathbb{E}^1$

中包含所有無理數且不含

的開集，即為稠密開集。則容易知道

$V\cap \mathbb{Q}$

也為

$\mathbb{E}^1$

中稠密開集。假設

，則

$V\cap\mathbb{Q}\cap Z\subset V\cap(Z-Y)$

。由於

拓撲空間的每個非空開集與稠密子集交集非空

，故得到：

$V\cap\mathbb{Q}\cap Z$

非空，即

交集非空。

這個空間

是C1的

。

$\forall x\in X，\left \{ (x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\cap\mathbb{Q} \right \}_{n=1}^\infty \cup\left \{ x\right \}$

都是一組可數鄰域基。

不僅如此，這個空間還是

可分的

。考慮可數子集

$\mathbb{Q}$

，其也為稠密子集。

但是問題是：我們要如何判斷其是否是C2的呢？

這個空間不是T3的，這斷絕了我們想透過滿足T3不滿足T4來論證非C2的想法。這個空間也並不一定能夠透過度量誘導，這也斷絕了我們利用可分+度量論證C2的想法。

但是，我們做一個巧妙的轉化，問題就能夠解決了。

考慮這個拓撲

在 #FormatImgID_137# 上的子空間拓撲

。其中所有開集都是這個拓撲空間中的開集與

之交。對於任意無理數集的子集

，

為拓撲空間中開集。故

$S\cap(U-(S-A))$

為子空間拓撲中開集。注意到

$S\cap(U-(S-A))=A$

，這說明任意無理數集子集都是子空間拓撲中的開集！即

在

上的子空間拓撲為離散拓撲!

對於

上的離散拓撲而言，其必定是

不可分

的，因為任何子集也都是閉集，故閉包仍舊等於自身。由於

不可數，故不存在可數稠密子集。

若原拓撲空間滿足C2公理，由其

遺傳性

，

上的子空間拓撲也滿足C2公理，故必定可分，矛盾！這告訴我們：原拓撲空間

不滿足C2公理

。

有時候，

運用子空間拓撲、乘積拓撲，結合公理的遺傳性、可乘性

，我們也能夠巧妙地證明各種結論。

下一次，我準備講一些更有意思的定理。包括Urysohn定理，Tietze擴張定理，以及Urysohn度量化定理。

標簽：拓撲開集度量 C2 鄰域

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