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Net in Topology——Zero

作者：由非平凡的理想發表于書法時間：2018-08-11

最近在複習和學習一些幾何與拓撲的相關知識，我會陸陸續續寫一些自己在學習中的心得與對一些知識點的理解，以便更好的掌握拓撲這個語言。

拓撲學（點集拓撲）相關的文章有很多了，不過對於網（net）和濾子（filter）貌似比較少，所以打算先把這兩個給補上。後面的看自己的學習進度吧。

我會在寫作的過程中，把一些基礎的內容給補上，比如我們後面證明會用到的

Zorn Lemma，

這要求讀者有一定的集合論的基礎，因此我會陸陸續續在文章開頭給出一些必要的集合論的知識。

粗略的講，網是對一般序列的推廣，這種推廣也是十分有用的，後面我會給出具體的例子。

系列文章連結：

首先呢，讓我們先做一點回顧性的準備

Def：

集合

和集合

的

笛卡爾積(Cartesian product)

$A\times B:=\left\{ (a,b)|a\in A,b\in B \right\}$

（笛卡爾積有時也稱為

積(product)

，裡面的元素就是一些有序偶對，這裡我們可以回想一下最常見的

$\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$

，它其實就是一個笛卡爾積，在平面中的每一個元素都是形如

這樣的，其中

$x\in \mathbb{R}$

，

$y\in \mathbb{R}$

。）

Def：

一個集合

上的

關係(relation)

是笛卡爾積

$A\times A$

的一個子集

如果

是

中的一個關係，那麼我們用記號

表示

$(x,y)\in R$

，讀作“

與

有關係

”。

（在日常生活中，我們所謂某兩件事物是有關係的，其實本質上就是說這兩件事物之間有

某種聯絡

，這個聯絡可以看作

一個集合

，而這些事件可以看成是這個集合裡面的

偶對

，所以在這裡將關係定義成一種集合的子集的形式是這麼來的）

Def：

我們說

$\preceq$

為集合

中的一個

偏序(Partial Order)關係

，如果滿足以下條件

$\forall \alpha\in A，\alpha\preceq\alpha.$

$若\alpha\preceq\beta和\beta\preceq\alpha，則\alpha=\beta.$

$若\alpha\preceq\beta和\beta\preceq\gamma，則\alpha\preceq\gamma.$

Def：

一個偏序集

$(D,\preceq)$

，如果滿足以下條件，則稱為一個

有向集(Directed set)

：對於

中每一對元素

$\alpha$

和

$\beta$

，存在

$\gamma\in D$

，使得

$\alpha \preceq \gamma$

且

$\beta \preceq \gamma.$

（

注

：事實上呢，一個有向集不一定非要定義在偏序集之上，還有這樣一種的定義：

Def：

一個有向集

$(D,\succeq)$

包含了一個非空集合

和一個

上的關係

$\succeq$

，滿足

$\forall d\in D,d\succeq d.$

$\forall d,d$

$\forall d,d$

我們把滿足條件

的集合稱為一個

前序(Preorder)集。我們可以看出，前序集是更大的一種集合，即任意偏序集都是前序集。

0.1 e.g.

$(X,\mathscr{T})$

是一個拓撲空間（這裡你可以先想成實數空間

$\mathbb{R}$

），

$x\in X$

，

$D=\left\{\ U\ |\ U\in \mathscr{U}_{x}\right\}$

，我們可以在

上定義如下的一個關係

$\geq：\forall U,V\in D，U\geq V\Leftrightarrow U\subseteq V.$

那麼

$(D,\geq)$

是一個有向集。

自反性和傳遞性是顯然的，對於第三個條件，我們只需要取

即可，大家可以自己驗證一下。

即對於x的全體開鄰域，那些越小的鄰域在關係中我們定義成越大的，這點定義在後面我們會用到

）

在之後的敘述中，我們都預設向集建立在前序集的基礎之上。

為了便於區分前序集和偏序集，我用

$\succeq$

表示前序關係，用

$\preceq$

表示偏序關係

Def：

是一個集合，我們說

$(x_{\alpha})(\alpha\in D)$

是集合

上的一個

網(net)，

滿足

$(D,\succeq)$

是一個有向集。

$\begin{align} (x_\alpha)(\alpha\in D)：D\rightarrow X \\ \alpha\mapsto x_\alpha \end{align}$

。

注意，這裡的

$(x_{\alpha})(\alpha\in D)$

是一個整體的符號，表示一個對映，而不能看成兩個符號。

一般來講，在不混淆的情況之下，我們把

$x_{\alpha}(\alpha\in D)$

簡記為

$x_{.}$

或

$(x_{\alpha})_{.}$

0.2 e.g.

取

$X=N^{+}$

，

$(D,\succeq)=(N^{+},\geq)$

，那麼

$N^{+}$

上的

恆等對映

就是一個網。

你可能會有疑問，這不是數列麼？

事實上，如果我們仔細觀察網的定義，會發現它其實就是數列的一個推廣。只不過

良序換成了前序，數集換成了任意集合。

既然說網是數列的推廣，那麼數列中的極限是不是也可以推廣呢？實際上這正是我們接下來的重點，下一節我們將會接觸透過

推廣數列極限得到的“網中的極限”。

標簽：前序集合偏序 def 一個

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