地震力到底是怎麼算出來的？[Part.10]

上一篇裡，我們求得了各個振型的地震位移響應和加速度響應。我們在 part。7 裡說到了，所謂的振型分解就是把多層房子分解成多個基本振型，整個房子的情況等於這幾個基本振型的疊加。我們現在已經得到了每個振型的情況，接下去需要做的就是把它們組合起來了。

剩下的問題就是，應該怎麼組合呢？

首先我們來看位移的組合，也就是如何把每個振型的位移組合成為三層房子各層的位移。

我們先把 D1、D2、D3 繪製出來做一個比較：

注意到，雖然這三者都是上下來回波動，但是它們波動的幅度大不相同。為了方便比較，我們把它們的縱座標換成同樣的比例。

從這個同樣比例的圖形中，我們可以清楚的看到，與 D1 相比，D2 和 D3 的數值非常小，幾乎可以忽略。

如果忽略了 D2 和 D3，那也就是前面說的近似方法了。現在我們不近似，把 D2 和 D3 都組合進來。

我們在 part。8 裡得到了 normalize 之後的特徵矩陣和三個振型的參與係數。參與係數的項與特徵矩陣的列相乘，就得到了各振型的位移的參與係數。

也就是說，最終的位移組合是這樣的：

D1、D2、D3 就是我們上面求出來的三個紅色的位移曲線。

我們把上面的 D1 乘以 0。543，D2 乘以 0。349，D3 乘以 0。108，再把它們加起來，得到的就是一層位移。D2 和 D3 本來就很小，再乘以0。349、0。108 這樣的係數之後，所起的作用就更小了。

同樣的道理，我們把 D1、D2、D3 按照第二層的位移組合係數疊加起來，我們就得到了第二層的地震位移響應。

再把這個過程重複一遍，就得到了第三層的地震位移響應。

我們在 part。2 裡計算的單層房子的最大地震位移是 21。7 毫米。而對於三層房子，一層的最大位移達到了 66。6 毫米，二層的最大位移為 121。8 毫米，三層的最大位移則是達到了 153。3 毫米。

透過這個簡單的對比，單層的質量和剛度不變，僅僅是層數變到了 3 層，地震位移就比一層房子大出了這麼多。現在您明白為什麼修房子不是簡單的壘積木了吧。對於廣大農村自建房，如果沒有完善的抗側向力體系，只是單純的一層層的摞上去，一旦地震來襲，震害會非常嚴重。

地震位移是各振型位移的疊加，地震力也同樣如此。我們在 part。8 裡得出了各振型的有效質量。每層質量300噸，換算成千牛、毫米和秒，每層質量為 0。3，各層質量分配到各振型裡是這樣的：

對於第一振型來說，三層 0。366，二層 0。294，一層 0。163。我們在 part。6 裡提到了如何從各樓層的地震作用力得出各層柱子的地震剪力，同樣的道理，我們也能得到第一振型各層柱子的地震剪力。

同樣的方法，我們也能得到第二振型的 Vs2 和第三振型的 Vs3，這也就是各振型的地震加速度組合係數。

跟位移組合一樣，對於地震加速度，我們把 Vs 係數和各振型的 A1、A2、A3 組合起來，就能得到三層房子的樓層剪力。

跟位移一樣，我們先把A1、A2、A3 繪製在一起做一個比較。

這裡我們用毫米每秒平方來做單位，重力加速度約等於9800毫米每秒平方，也就是 A1 最大值差不多是1。5g，A2 和 A3 最大值大約 1g 左右。

對於三層剪力來說，等於0。366倍的A1加上-0。084倍的A2加上0。018倍的A3。也就是把上面的三條藍色曲線乘以係數，然後疊加起來，就得到了三層的剪力。

同樣的方法，我們可以得到第二層的地震剪力：

第一層的地震剪力，也就是底部剪力：

跟位移的情況類似，對於地震力來說，第二振型、第三振型的貢獻也非常小，基本還是以第一振型為主。

我們看一下每層地震剪力的最大值，也就是上面這三條黑色地震剪力曲線的最大值。三層 6416 千牛，二層 11047 千牛，一層 13311 千牛。把它們折算成每層的地震作用力，結果是這樣的：

也就是說，三層的地震作用力是 6416，二層是 4631，一層是 2264。還記得我們 part。6 裡是怎麼把總的地震力分配到各個樓層嗎？那時候我們說，是按照質量和高度的乘積進行分配，三層分得二分之一，二層分得三分之一，一層分得六分之一，也就是 3：2：1 的關係。現在看看 6416：4631：2264，其實是 2。83：2。05：1。是不是很接近呢？您現在明白 part。6 裡為什麼要這樣分配了吧。

如何驗證一下我們振型分解得出的最終地震剪力是否正確呢？從上面的振型疊加可以很清楚的看到，第二振型、第三振型都在打醬油，絕大多數都是第一振型貢獻的。我們還記得，我們這個三層房子的第一週期是 0。547 秒，而我們在 part。4 討論反應譜的時候，週期 0。5 秒對應2。14，也就是最大地震力是自身重力的 2。14 倍。我們的房子每層300噸，總重900噸，也就是8826千牛。8826乘以2。14，等於18888千牛。而我們振型分解得出的結果是13311千牛，雖然不完全一致，但起碼在同一個數量級上。

有看官說了，折騰了半天，這第二振型、第三振型基本沒有什麼作用啊，那還分解個什麼勁兒啊。之所以會這樣，是因為我們這個例子裡的三層房子規整的不能再規整了，每層的質量和剛度都一樣。現實世界裡的房子千差萬別，每層的平面尺寸、高度、用途、重量、柱子尺寸、柱子數量可能都會不同。這種情況下，第二振型、第三振型以及可能有的第 N 振型就不再只是打醬油了。

還有看官說了，你在 part。4 講反應譜的時候說了，所謂的抗震設計要考慮這個地區可能發生的各種地震的情況，而不只是某一次地震，這也就是規範裡的設計反應譜的意義。今天的這種動力時程分析只適用於這一次地震，如何考慮其它可能的地震呢？這種振型分解的方法跟我們前面推導的反應譜有什麼關係？規範規定的反應譜又該如何應用到這種方法裡呢？動力時程的計算量也實在太大了一些，有沒有什麼合理高效又實用的簡便方法呢？

您且稍待，且聽咱們下回分解。

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題圖來源：Dynamics of Structures：Theory and Application to Earthquake Engineering，Anil K。 Chopra