（大四）現代張量分析（3）

作者：由 Ready-Player 發表于農業時間：2018-07-18

2018年7月18日，接著前兩篇繼續寫下去。

一、張量並運算：

$\Phi，\Psi$

是兩個張量，

$\Phi\otimes\Psi$

這個運算就是張量的並積，說完了。

就這麼簡單嗎？就是這麼簡單。

最多再多說一句，告訴一下並的結果是什麼：

$\Phi\otimes\Psi(u_1,u_2,...,u_p,v_1,_2,...,v_q)$

$=\Phi(u_1,u_2,...,u_p)\Psi(v_1,_2,...,v_q) \in Tensor^{p+q}(R^m)$

二、張量的e點積運算：

ok。這裡稍微仔細說一下，以後把張量確定的過程稱作“吃確定”。

$\Phi=\Phi(u_1,u_2,...,u_p)$

$\Psi=\Psi(v_1,_2,...,v_q)$

ok，這裡再說一件事，中間的括號下面應該有個點，此處省略：

$\Phi(e)\Psi= \Phi(u_1,u_2,...,u_p)(e)\Psi(v_1,_2,...,v_q)$

$=\Phi^{i_1,i_2,...,i_p}g_{i_1}\otimes g_{i_2}\otimes...\otimes g_{i_p} (e) \Psi^{j_1,j_2,...,j_p}g_{j_1}\otimes g_{j_2}\otimes...\otimes g_{j_q}$

這個推導沒啥問題吧？然後這個e怎麼作用呢？

把中間的兩排基向量，對應的做點積，首先，取幾個分析一下：

$g_{i_{p-e+1}} \cdot g_{j_1}=g_{i_{p-e+1},j_1}$

$g_{i_{p-e+2}} \cdot g_{j_2}=g_{i_{p-e+2},j_2}$

$g_{i_{p}} \cdot g_{j_e}=g_{i_{p},j_e}$

這點積的這些結果把基變成了數，那麼首先，張量的階數降了下來：

$\Phi(e)\Psi\in Tensor^{p+q-2e}(R^m)$

接下來，產出的那些結果是什麼呢？仔細一看，原來是“度量”。

度量是幹什麼的呢？答：“指標升降遊戲”。

那，結果大概長什麼樣呢？大概猜一下：

$\Phi^{i_1,i_2,...,i_{p-e}}_{*,*,..........,*, j_1,j_2,...,j_e}\Psi^{j_1,j_2,...,j_p}g_{i_1}\otimes g_{i_2}\otimes...\otimes g_{i_{p-e}} \otimes g_{j_{e+1}}\otimes g_{j_{e+2}}\otimes...\otimes g_{j_q}$

ok了，所以e點積是什麼？答：“自有指標”變“啞指標”。

來，簡化一下，想想兩個向量，一次點積結果是什麼？

$u\cdot v =u_i e_i \cdot v_j e_j =u_i v_j \delta_{ij} =u_i v_i$

也是指標變成啞標，ok，只不過e點積一次就減少2e階。

最後說一個全點積，必須是同階張量的：

$\Phi\odot\Psi=\Phi^{s_1,s_2,...,s_p}\Psi_{s_1,s_2,...,s_p}$

全部的指標都會變成啞指標，最終可以定義範數。

三、置換運算其實很簡單：

其實這裡的東西很簡單，但是一般書寫的比較ran。。。

1.置換：

$\left[ \begin{array}{ccc} 1& 2&3 &4\\2&3 &4 &1 \\ \end{array} \right] \sim \left( \begin{array}{ccc} i_1& i_2&i_3&i_4\\ & &\\ i_2&i_3&i_4&i_1\end{array} \right)$

方括號寫的是序號定義，圓括號寫的是元素定義。

說白了，就是換個位置而已。

2.置換運算元:

置換運算元肯定是要作用在張量上的：

直接給出結果吧，就是一個排序：

$I_{\sigma}\Phi=\Phi^{\sigma_{(j_1)},\sigma_{(j_2)},...,\sigma_{(j_p)}} g_{j_1}\otimes g_{j_2}\otimes...\otimes g_{j_q}$

3.對稱張量與反對稱張量：

$I_{\sigma}\Phi=\Phi$

$I_{\sigma}\Phi=sgn(\sigma)\Phi$

這個顯然，給指標置換以後，張量不變，證明是對稱的。

置換任意的都會產生正負號，證明是反對稱的。

4.對稱化運算元與反對稱化運算元：

暫時表示對稱化運算元和反對稱化運算元吧。

和

這裡面，給出一個構造，別管為啥這麼構造的，結果一定可以論證。

$S(\Phi)=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}I_{\sigma}\Phi$

ok，現在開始證明運算元

是一個對稱化運算元：

$I_{\tau}S(\Phi)=I_{\tau}[\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}I_{\sigma}\Phi] =\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}I_{\tau}I_{\sigma}\Phi$

$=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}I_{\sigma\cdot\tau}\Phi =\frac{1}{r!}\sum_{\beta \in p_r}I_{\beta}\Phi =S(\Phi)$

下面講反對稱化運算元，有的書上給的證明是錯的，我修改一下：

$A(\Phi)=\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}sgn(\sigma)I_{\sigma}\Phi$

ok，現在證明，可以將任意張量透過這個算符變為反對稱張量：

$I_{\tau}A(\Phi)=I_{\tau}[\frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}sgn(\sigma)I_{\sigma}\Phi] =\frac{sgn(\tau)}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}sgn(\sigma)sgn(\tau)I_{\tau}I_{\sigma}\Phi$

$=\frac{sgn(\tau)}{r!}\sum_{\sigma \in p_r}sgn(\sigma\cdot\tau)I_{\tau\cdot\sigma}\Phi =sgn(\tau) A (\Phi)$

這就證明完了，對稱化運算元，反對稱化運算元，確實可以把任意的張量變成一個對稱或者反對稱張量，其構造可以從低價的角度考察。

5.給出兩個反對稱運算元的性質：

$1.A^k(\Phi)=A(\Phi)$

$2.A(\Phi\otimes \Psi) =A(A\Phi\otimes \Psi) =A(\Phi\otimes A\Psi) =A(A\Phi\otimes A\Psi)$

四、神奇的外積：

先寫點複習的東西，張量並是什麼呢？就是不做運算，擺在一起，階數相加。

e點積是什麼呢？靠近的2e個基向量進行點基，其餘的並起來，那麼最終得到的張量，就是一個

階的張量，這些概念先搞清楚。

接下來，外積是什麼呢？它是張量並後，加以反對稱化的結果。

$\Phi \wedge \Psi=\frac{(p+q)!}{p!q!}A(\Phi \otimes \Psi) \in Tensor^{p+q}(R^m)$

1.張量和簡單張量：

還記得簡單張量嗎？向量並得到的張量叫做簡單張量。

2.外形式（r-形式\r-form）:

名字是不很高大上？其實外形式就是“反對稱張量”。

那麼r-form組成的空間應該記作：

$\Lambda^r(R^m)$

其實就是m維歐幾里得空間中的r階反對稱張量空間。

3.簡單外形式，或者叫簡單r-形式：

帶簡單字樣的，前面接觸過一次，就是由向量得來的，這裡也不例外：

$u_1\wedge u_2\wedge...u_r =\frac{r!}{1!\times1!\times...\times1!} A(u_1 \otimes u_2 \otimes...u_r)$

$=r!A(u_1 \otimes u_2 \otimes...u_r)$

所以呢？得到什麼結論，給簡單張量作用反對稱化運算元，就可以得到一個簡單的r-形式。

4.r-形式的確定：

既然，r-形式也屬於r階張量，就一定可以透過向量來進行確定，這是今天寫的最後一條：

$u_1\wedge u_2\wedge...u_r(v_1,v_2,...,v_r)$

，這個等於什麼呢？

可以證明，有以下等式：

$u_1\wedge u_2\wedge...u_r(v_1,v_2,...,v_r)=$

$det \left[ \begin{array}{ccc} （u_1,v_1）_{R^m}& （u_1,v_2）_{R^m}&... &（u_1,v_r）_{R^m}\\ （u_2,v_1）_{R^m}& （u_2,v_2）_{R^m}&... &（u_2,v_r）_{R^m}\\ ...& ...&... &...\\ （u_r,v_1）_{R^m}& （u_r,v_2）_{R^m}&... &（u_r,v_r）_{R^m}\\ \end{array} \right]$