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《布朗運動》知識點整理(1):基本知識

作者：由 DreamAR 發表于農業時間：2021-03-20

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Zhihu On VSCode

創作併發布

機率論回顧

重要概念

幾乎處處收斂：

$\mathbb{P}(\lim \xi_n\neq \xi)=0$

；

依機率收斂：

$\,\forall\,\varepsilon>0$

，

$\lim\mathbb{P}(\|\xi_n-\xi\|>\varepsilon)=0$

；

依分佈收斂：

$\lim \mathbb{P}(\xi_n\le x)=\mathbb{P}(\xi\le x)$

，

為

$F(x)=\mathbb{P}(\xi\le x)$

連續點。

-階矩收斂：

$\lim \mathbb{E}|\xi_n-\xi|^r=0$

。

一致可積：

$\lim \sup_i \mathbb{E}(|\xi_i|;|\xi_i|\ge n)=0$

。

重要公式

Chebyshev不等式：

$\mathbb{P}(|\xi|\ge m)\le \frac{1}{m^\alpha}\mathbb{E}|\xi|^\alpha$

；

Ḧolder不等式（Cauchy-Schwarz更常用）；

Kolmogorov不等式：

$\mathbb{P}(\max_{1\le k\le n}|S_k-m_k|\le \lambda)\le \lambda^{-2}\mathbb{E}[(S_n-m_n)^2].$

重要定理

實變： Lebesgue控制收斂定理， Fatou引理，單調收斂定理， Fubini定理

Borel-Cantelli引理：

$\sum_{n=1}^\infty\mathbb{P}(A_n)<\infty$

說明

$\mathbb{P}(\limsup A_n)=0$

。

獨立時這充要。

重要的推論是

$\,\forall\,\varepsilon>0$

，

$\sum_n \mathbb{P}(|\xi_n-\xi|>\varepsilon)<\infty$

時，

$\xi_n\xrightarrow{a.s.}\xi$

。

強大數定律：獨立同分布可積序列滿足強大數律（Kolmogorov）。

一致可積當且僅當

-有界且一致絕對連續；

-收斂當且僅當一致可積且依機率收斂。

Skorohod 嵌入定理：

$F_n\xrightarrow{w}F$

，若

為分佈函式，

則

$\,\exists\,\xi_n\xrightarrow{a.s.} \xi$

，

$\xi_n,\xi$

依

分佈。

中心極限定理：平方可積標準化的i。i。d。

$\{\xi_n\}$

，

$\frac{1}{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\xi_k$

弱收斂於標準正態分佈。

Kolmogorov 零一律：獨立隨機序列尾事件域服從01律。

即與前有限項無關的事件的機率非零即一。

研究方法

標準化：

$\frac{\xi-\mathbb{E}\xi}{\sqrt{D\xi}}$

；

特徵函式：

$\mathbb{E}e^{ix\cdot\xi}$

；

單調類方法： Dynkin引理 + 單調收斂定理。

引子：醉漢的腳印

這是一個生動而重要的例子。

記

$\xi$

為伯努利分佈的隨機變數，一半機率取

，一半機率取

。

取獨立同分布的

$\{\xi_i\}$

，記

$X_n=\sum_{i=1}^n \xi_i$

，

生動地稱為醉漢的腳印。針對某一具體的

$\omega\in \Omega$

，

$\xi_i(\omega)$

描述了第

步的前進方向，

$X_n(\omega)$

描述了第

步所在的位置。

利用中心極限定理，

可以證明

$\mathbb{P}(\lim\limits_{n}\frac{X_n}{n}=0)=1$

，

即幾乎處處

的位置相對於

來說是無窮小量。

即相對於一個始終沿某一方向行進的人來說，醉漢幾乎在原地沒有動過，

這主要是因為

$\mathbb{E}X_n=0$

。

但是利用零一律容易證明，

$\mathbb{P}(\sup_n X_n=+\infty, \inf_n X_n=-\infty)=1$

，

即它的軌跡幾乎必然無界。給定某一位置，醉漢幾乎總能在某一時刻到達該位置。

進而

$\,\forall\,a\in \mathbb{Z}$

，

$\mathbb{P}(X_n=a, \text{無限多個n})=1$

，即對於定點

，

醉漢也將幾乎必定無數次的到達該點。

布朗運動

首先我們來對布朗運動有一個初步印象：對布朗運動，愛因斯坦給出了一個公式。

從原點出發的某一花粉微粒，

在

時刻位於區域

的機率為為

$\int_A p_t(x)dx$

，

其中

$p_t(x)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}})^de^{-\frac{|x|^2}{2t}}$

，稱為熱核，

因為布朗運動的本質是分子熱運動。注意熱核與維數

有關。

布朗運動的公理體系由如下方式給出：

定義軌道樣本空間：

$\Omega=C_0[0,1]$

，

因為花粉顆粒運動理應是一個連續函式。

取最大模度量，這誘導了空間上的拓撲，從而有了Borel

$\sigma$

-域。

每一個事件為

$\omega\in \Omega$

。取

為隨機變數，

$B_t(\omega)=\omega(t)$

，為

時刻布朗運動（

B

rownian motion）位置。

機率空間上的測度應滿足：

$\mu (B_t\in A)=\int_A p_t(x) dx$

。

獨立增量

：

$\,\forall\,\{0=t_0<...<t_n=1\}$

，

$\{B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\}$

彼此獨立。

平穩增量

：

$\,\forall\,0\le s<t\le 1$

，

應與

$B_{t-s}$

同分布。

以後將證明，以上定義了唯一的機率空間，我們在該空間中研究布朗運動。

進而也可以憑藉

上的布朗運動得到

$[0,+\infty)$

上的布朗運動。

在該機率空間下，存在一點可微的函式全體為零測集，

即布朗運動幾乎一定是很粗糙的。

條件期望

定義

對隨機變數

$X\in L^1$

，事件域

$\mathscr{G}\subset \mathscr{F}$

，

$\,\exists\,!$

隨機變數

$Y\in L^1$

，滿足

關於

$\mathscr{G}$

可測，

$\,\forall\,A\in \mathscr{G}$

，

$\mathbb{E}(X;A)=\mathbb{E}(Y;A)$

。

稱

為

的條件期望，記為

$\mathbb{E}(X|\mathscr{G})$

。

證明方法是先在

空間裡找，條件期望就是Hilbert空間中的投影。

再利用

在

中稠密即可。

性質

沿用上述記號。

$\mathbb{E}(X|\{\varnothing, \Omega\})=\mathbb{E}X$

；

$\xi\mapsto \mathbb{E}(\xi|\mathscr{G})$

線性保序；

$\mathbb{E}(\xi\eta|\mathscr{G})=\xi\mathbb{E}(\eta|\mathscr{G})$

，

若

$\xi$

關於

$\mathscr{G}$

可測（單調類方法證明）；

與

$\mathscr{G}$

獨立，則

$\mathbb{E}(X|\mathscr{G})=\mathbb{E}(X)$

；

塔性

：

$\mathscr{G}_1\subset \mathscr{G}_2$

，

則

$\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_2)|\mathscr{G}_1)=\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathscr{G}_1)|\mathscr{G}_2)$

；

Jensen不等式推廣：

$\varphi(\mathbb{E}(X|\mathscr{G}))\le \mathbb{E}(\varphi(X)|\mathscr{G})$

，

$\varphi$

凸。

第三點取

$\eta=1$

，便蘊含了

$\mathbb{E}(X|\mathscr{F})=X$

，

$\mathbb{E}(a|\mathscr{G})=a$

等結論，這裡

關於

$\mathscr{F}$

可測。

關於塔性的理解：

一個4k解析度的電影你先壓成2k再壓成1k和你直接壓成1k沒有區別，

當然和你先壓到1k再壓成2k也沒有區別（後一步操作無意義）。

標簽：布朗運動收斂定理機率醉漢

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