篩法(7)——大篩法的積性形式(原特徵與柯西不等式)
科學成就是由一點一滴積累起來的,惟有長期的積聚才能由點滴匯成大海。——華羅庚
往期文章:
TravorLZH:篩法(1)——抽象形式與常用形式
TravorLZH:篩法(2)——容斥原理和埃氏篩法
TravorLZH:篩法(3)——孿生素數對的倒數和收斂【本文含錯誤】
TravorLZH:篩法(3。1)——Brun篩法與孿生素數對的倒數和
TravorLZH:篩法(4)——Selberg篩法
TravorLZH:篩法(5)——大篩法的解析形式(推廣Bessel不等式與Rényi的權重)
TravorLZH:篩法(6)——大篩法的算術形式(Farey數列與中國剩餘定理)
引言
書接上回
[1]
,我們提到可以透過將大篩法與Dirichlet特徵相結合便能更加深入地研究等差數列上的素數分佈問題。因此在本篇文章中我們將看看怎樣能夠把解析形式的大篩法與Dirichlet特徵相結合從而發揮一些作用。確切地說我們將引入一種帶權和:
並利用大篩法來得到與之相關的放縮結論。
對原特徵的求和
利用原特徵的性質
[2]
,我們知道當
為模q原特徵時其高斯和
是可分的。因此倘若定義
,則對於一切模q原特徵
均有:
並且
。把這些結論代入到(1)中就有:
其中
是出現在大篩法不等式
[3]
裡的指數和。對左側進行遍歷所有的模q原特徵求和(即
),則有:
接下來利用Dirichlet特徵的正交性,我們知道藍色部分非零當且僅當
與q互素,所以有:
現在我們再對
求和,就可以套用Farey數列版的大篩法不等式
[4]
從而得到(3):
由於Dirichlet特徵的積性,(3)也會被稱為
積性大篩法不等式(multiplicative large sieve inequality)
。(3)右側的係數之所以是
是因為我們證明大篩法不等式
[3]
時用的是Rényi的方法。如果沿用Gallagher
[5]
[6]
的方法,則可以得到陳景潤證明1+2的論文中的版本:
為了在後續文章中更加自在地探究等差數列素數問題,我們需要把(3)轉換成適用於處理二重特徵和的形式。而具體的手段便是柯西不等式。為此我們可以引入兩個帶權和
、
。然後研究它們的性質。
適用於二重特徵和的大篩法不等式
利用柯西不等式,可知:
再套用(3),我們就得到了第一種修改版的積性大篩法不等式了:
然而為了更好地將大篩法投入到後續文章中的真實應用場景,我們需要限制mn的大小。換言之我們希望能為
給出非平凡的上界。由於(5)中的求和範圍已經非常複雜了,所以我們必須得引入一些解析工具來處理mn≤u這個條件。
限制乘積大小的不連續積分
在推導Perron公式
[7]
的時候,我們知道:
現在設
便有:
現在我們定義
則有:
由於
且
,所以我們接下來只需要在
的基礎下分析
可能的取值就可以得到更廣的結論。利用(6),我們可以立即發現:
本文的(8)其實就是Cojocaru & Murty第八章的習題17
W(u)的上界估計
現在把
和
和(8)代入到(5)的二重特徵和中,便有:
現在設
和
,則紅色部分變成:
將此與(4)結合,便有:
對於藍色求和,在不失一般性的情況下我們假設u是半奇數,則
,所以:
由於當
時W(u)=W(MN),所以把(10)、(11)以及
代入回(5)便有:
現在設定
,我們就得到了適用於W(u)的大篩法不等式:
本文的(12)其實就是GTM74
[5]
第28章的(5)和Cojocaru & Murty
[6]
第八章的(19)
小結
在本篇文章中我們以原特徵的性質(1)作為起點,先推導了大篩法的積性形式(3)。接下來透過將(3)與柯西不等式結合,便得到了適用於二重求和的積性大篩法不等式(4)。最後透過引入解析工具(8),我們得到了一種將(4)變成了一種能夠一致限制mn大小的版本(12)。接下來我們將透過巧妙地使用(12)來得到對於一切
都成立的放縮式:
從而證明Bombieri-Vinogradov定理
[5]
[6]
。為了避免資訊過載,這些內容就放在新文章裡了,敬請期待更新!
從左到右:王元、陳景潤、潘承洞
參考
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當數論遇上分析(16)——篩法與等差數列上的素數I(Brun-Titchmarsh不等式) - 知乎
https://zhuanlan。zhihu。com/p/428836003
^
當數論遇上分析(9)——高斯和、誘導模與原特徵 - 知乎
https://zhuanlan。zhihu。com/p/367912282
^
a
b
篩法(5)——大篩法的解析形式(推廣Bessel不等式與Rényi的權重) - 知乎
https://zhuanlan。zhihu。com/p/422701088
^
篩法(6)——大篩法的算術形式(Farey數列與中國剩餘定理) - 知乎
https://zhuanlan。zhihu。com/p/425212237
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a
b
c
Davenport, H。 (1980)。 Multiplicative Number Theory (Vol。 74)。 Springer New York。
^
a
b
c
Cojocaru, A。, & Murty, M。 R。 (2005)。 An introduction to sieve methods and their applications。 Cambridge University Press。
^
帶餘項的Perron公式 - 知乎
https://zhuanlan。zhihu。com/p/355438064
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