兩條相離曲線上兩動點的最短距離何時取?
作者:由 Bill Gets 發表于 書法時間:2021-02-03
首先,不難發現
和
這兩個函式互為反函式:
對於
,令
,則有
所以
和
互為反函式。也就是說,它們的影象關於直線
對稱。
由於直線
的斜率為
,那麼
和
的影象上的點到直線
的距離最短時,它們的切線斜率都為
。
又由於
與
的對稱性,顯然
的影象上的點與
的影象上的點的最小距離恰好就是
的影象上的點到直線
的距離與
的影象上的點到直線
的距離之和(由於對稱性,顯然這兩段距離是相等的)。
現在我們來求
和
的影象上那些切線斜率為
的點:
因為
,令
,得
。記該點為
。
因為
,令
,得
。記該點為
。(
點的座標也可由反函式得到)
故
的影象上的點與
的影象上的點的最小距離為
。
注:這個題計算量非常小,但難度在對稱性與距離最短的聯絡上。如果對函式影象足夠熟悉,這個題就是口算題。