表示論在哪兒

高代：

1。矩陣

，

，則

可以對角化，且

特徵值都為n次單位根。

pf：

當然，這個可以用若爾當標準型做，或者直接用特徵多項式，不過這裡用表示論做，有表示：

這樣得到了

的一個表示，由於它是Abel群，不可約表示都是一維的，由於

的不變子空間（都可以看成表示）都可以分解成不可約表示的直和，所以表示空間

可以分解成一維的不變子空間（特徵子空間）的直和，所以A可以對角化，有

為對角矩陣 ，

，且

對角線上元素為特徵值n次方，所以其特徵值為n次單位根。

2。正交矩陣的對角化：

矩陣

為正交矩陣，則有

，有

構成一個群，其自然的為一個群表示，它為Abel群，所以對應的不可約表示為一維的，於是有

可以同時對角化（存在

可逆，

都為對角矩陣，複數域下）。（對酉矩陣，即

，

的矩陣，可以類似證明，實際上證明了酉矩陣的，正交矩陣的自然證明了）

實際上1可以這樣：冪零矩陣

，即存在

，

可以對角化。

pf：

利用

構成群。

微分方程：

設有線性微分方程：

，其中作為係數的函式

以

為週期。

可以驗證，對方程的解

，有

也為方程的解，其中

，

於是有對映：

定義了一個方程的解空間上的線性變換，

並且由此我們可以透過

定義一個整數加群

的表示 。

，為

的一個表示，它與Fourier分析密切相關。

註記：這樣的表示看起來好像很複雜，把

作用到複雜的微分方程解空間上去，不過不妨這樣想，這樣複雜的微分方程卻可以用一個較為簡單的群

的表示來研究。

數論

：

有限Abel群的特徵標理論被Dirichlet用於證明了Dirichlet素數定理：

則

裡有無數個素數，證明見下文：

證明裡的Dirichlet級數：

，現在是數論的重要工具之一。

貌似關於Dirichlet級數也有相應的Riemann猜想。

群論：

3。群表示論找群結構：

利用特徵標表，可以獲得一個群的許多資訊。

群的正規子群：

設

為

的所有不可約特徵標，

為商群

的全體不可約特徵標。記

為特徵

的核。

對

的任一表示：

，由

，有

。

先證明幾個引理：

lemma1：

，其中

為

對應的特徵。

pf：

由

為單位根之和，

即可。

lemma2：

設

，則

，且有

。

pf：

1。由

即可。

2。對正則表示

。

透過計算

即可得到

的正規子群。

下面證明這樣可以找到所有的正規子群：

theorem：

設

，則

。

由

，所以對群

應用lemma2，得到

。

下面以群

作為例子看看：

其特徵標表：

A5特徵標表

從其表中發現只有平凡的正規子群，且

，其中

不為平凡特徵標。

實際上有推論：

為單群當且僅當

，其中

不為平凡特徵標。

pf：

利用引理2即可。

表示論的應用不止這些，能力有限，慢慢寫，理解一些寫一些。

數學是一個統一的整體，了不起的理論往往在分析，幾何，代數方面都會有用處。