旋轉矩陣 左乘 右乘 是什麼？與李代數 四元數 有什麼聯絡？
（原始稿寫在word裡的，貼上在知乎上時遇到各種不順，乾脆就直接貼圖啦~）
參考資料：
《視覺SLAM十四講 第二版》
高翔
（主要參考資料）
《機器人學 第三版》
蔡自興
《Machine Vision 課程講義》Wang Han（NTU）
目錄：
旋轉矩陣、
李代數
、四元數的物理意義（公式大合集）
旋轉矩陣
的性質
推導旋轉矩陣的
定義式（重點）
推導
右乘
法則
（重點）
旋轉矩陣的兩種含義（本文最重要的重點）
推導
左乘
法則
（重點）
李代數定義及性質（簡略）
四元數定義及性質（簡略）
1。旋轉矩陣、李代數、四元數的物理意義
設
世界座標系/參考座標系/基礎座標系/原始座標系/靜止座標系/固定座標系/大地座標系為{1}系（這些名字都是一個意思）
，經過旋轉得到{2}系，
轉軸
方向由
單位向量
表示，轉軸
在{1}系的
座標
為
，轉角大小由弧度
表示。
【
】已知轉角與轉軸，求旋轉矩陣、李代數、四元數：
【
】已知旋轉矩陣、李代數、四元數，求轉角與轉軸：
【
】旋轉矩陣與李代數的指數對映，旋轉矩陣與四元數的對映（後續李代數、四元數部分會各自說明公式來歷）
2。旋轉矩陣的性質
2。1推導旋轉矩陣的表示式
現在，恭喜你，你已經推匯出任意兩個座標系之間的旋轉關係了。接著，我們一起來攻克一個問題：機器人在運動時，能夠隨時得到許許多多相鄰兩個位置對應的旋轉矩陣，利用這些矩陣能夠直接表示不相鄰兩個位置之間的旋轉矩陣嗎？當然可以。有右乘和左乘兩種途徑，
它們分別對應著旋轉矩陣的兩種不同含義
。第一種含義的物理場景是，四旋翼飛機轉來轉去看靜止的路燈，第二種含義的物理場景是，火力少年王站著不動把悠悠球甩來甩去。讓我們一起來推導一下吧！相信你在推導的過程中會對旋轉矩陣有更深的理解。
2。2推導右乘法則
想象物理情景：一架四旋翼無人機，它的骨架恰好長得就像一個座標系，所以，你之後不妨把那些
座標系就看成無人機的骨架
吧！這架在空中發生了純轉動，{1}系表示大地靜止座標系，也是無人機的初始座標系，{2}{3}系表示無人機的純轉動後的座標系。靜止的點M表示路燈，此時，在無人機看來，路燈的座標是多少呢？
恭喜你！你已經掌握右乘法則了，就差理解
左乘法則
了！
2。3旋轉矩陣的兩種含義
在推導右乘法則的時候我們很順利，因為，旋轉矩陣的定義式是按照第一種含義給出的，右乘法則對應的恰好也是第一種含義，所以，推導起來毫不費力。為了理解，左乘法則，我們需要理解旋轉矩陣的第二種含義。
2。4推導左乘法則
恭喜你，到此，形式上已經挺“左乘法則”的了！接下來，我們利用這個等式，進一步推導{1}系和{3}系之間的旋轉矩陣
的表示式：
恭喜你，現在，你已經掌握右乘和
左乘
啦~~~
噢，對了，檢驗一下，透過右乘（先繞自身X轉pi/2，再繞自身Z轉pi/2）和左乘（先繞世界X轉pi/2，再繞世界Y轉-pi/2）得到的總旋轉矩陣是否一樣呢？
Bingo！一樣噠~~
3。李代數定義及性質
李代數和四元數都可以表示旋轉，孰優孰劣呢？筆者也說不清。反正李代數能解決一個問題：旋轉矩陣如何求導？
3。1
李群
的定義
3。2李代數的定義
3。3李括號的定義及BCH公式
3。4李代數的求導
3。5李代數的伴隨性質
4。四元數的定義及性質
