矩陣偽逆【pseudoinverse, Moore-Penrose inverse】

作者：由直之切發表于書法時間：2022-12-31

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基本概念

Hermitian 矩陣

A的共軛轉置等於A，類似於實數域對稱陣；因此，共軛轉置又叫Hermitian轉置。

酉矩陣（unitary matrix）

實數域正交矩陣在附屬域推廣。

偽逆矩陣性質

$A^{+}表示矩陣A偽逆$

$\begin{cases} 1. \, AA^{+}A = A \\ 2. \, A^{+}AA^{+} = A^{+} \\ 3. \, (AA^{+})^* = AA^* \\ 4. \, (A^+A)^* = A^+A \end{cases}$

左逆和右逆

當A列滿秩時，

可逆，偽逆可表示為

$A^+ = (A^*A)^{-1}A^*$

，此時，

。——-》左逆。

當A行滿秩時，

可逆，此時偽逆：

$A^+ = A^*(AA^*)^{-1}$

，

。——》右逆。

偽逆求解

秩分解方法（rank decomposition）

$A\in C^{m\times n},\, rank(A) = r, A = BC, \, B\in C^{m\times r},\, C\in C^{r\times n}$

利用行滿秩，列滿秩矩陣偽逆求法（左逆、右逆），求A偽逆。

標簽：偽逆轉置矩陣左逆 Hermitian

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