黑洞吸積盤

作者：由平底鍋發表于體育時間：2019-10-04

全文約10，000字

第三次學術沙龍是由

@Plus

帶來的“

黑洞吸積盤

”，主要介紹這一領域的研究方法與一些經典模型。

以致密天體為中心，由其引力俘獲周圍物質，形成的盤狀轉動結構稱為吸積盤（accretion disk）。隨著上世紀六十年代對類星體（quasar）高光度的能量來源的研究，引力能的釋放在天體物理過程中逐漸被人們所重視，緻密天體中心吸引附近物質釋放引力能的物理圖景逐漸被構建起來。1973年，Shakura和Sunyaev發表了跨時代的

吸積盤標準模型

，這一模型給出了吸積過程的基本物理影象——

吸積過程穩定，吸積率較為適中的情形

。1988年，Abramowicz提出

slim模型

（Slim Accretion Disk Model），對臨界吸積率下標準模型中散熱部分提出修正，認為能量會以熵的形式儲存在吸積盤中而非以輻射的形式釋放，這就是所謂的

徑移主導散熱模式

。這解決了標準盤模型內區熱不穩定的問題。1995年，Narayan等人提出，低吸積率下散熱過程也應當是徑移主導的，併為此提出了

ADAF模型

（Advection Dominate Accretion Flow Model）。這一模型在解釋銀河系中心黑洞光譜等一些問題上取得了巨大成功。近些年來，外流對盤的影響也逐漸被納入研究範圍。

文章首先回溯黑洞吸積盤的研究歷史，描繪吸積盤的基本影象，然後重點介紹著名的標準

$\alpha$

盤模型，這一模型是

開啟現代吸積盤理論研究的基礎模型

，之後將簡述slim模型、ADAF模型與外流的研究。（本文采用CGS單位制）

一、核能與引力能

上世紀三十年代以來，隨著對核能研究的加深，人們逐漸認識到恆星發光主要的能源來自於原子核聚變產生的能量。我們這裡以太陽為例將引力能與核能進行簡單的對比。

太陽光度

$L_{S}=3.8\times 10^{33}erg/s$

，壽命

$\tau_{S}\approx1.0\times10^{10}yr$

，估算其能量消耗效率

$\eta_{S}=\frac{E_{S}}{M_{S}c^{2}}=\frac{L_{S}\tau_{S}}{M_{S}c^2}=6\times 10^{-4}$

對於核能，考慮氫核聚變，設虧損質量為

$\Delta m$

，氫核質量為

$m_{H}$

，其能量效率為

$\eta_{N}=\frac{\Delta m}{4m_{H}}\approx7\times10^{-3}$

對於引力勢能，考慮天體從無窮遠縮小成半徑為

的均勻球體，引力能效率

$\eta_{G}\sim \frac{GM_{S}^{2}/R}{M_{S}c^2}=2 \times10^{-6}$

可以看到，核能更能滿足恆星的能量需求，因此在恆星的研究中，往往主要考慮核能的影響。

上世紀六十年代，人們發現了類星體。這一類星系具有一系列奇異的特徵：巨大的紅移、緊密的結構、極高的光度等等。類星體的能源機制也難以用一般的恆星來類比，它有極高的光度，其電磁輻射覆蓋了從無線電波到

$\gamma$

射線的全波段，此外，其光度具有時變的特徵。我們來估計一下類星體的總輻射能量，並透過對比確認其能量的可能來源。

類星體光度平均值為

$10^{45}\sim10^{46} erg/s$

。其壽命則由類星體周圍延展結構（如下圖）計算而來：這些延展結構被認為源自類星體中心，故將延展結構的尺度除以光速

即可得到壽命下限

$\tau\sim10^6yr$

。由此，總輻射能量

$E\sim10^{60}erg$

對於引力能，需要估計發光區域的尺度。這裡引入光變時標

，表示類星體光度變化超過一定限度所需時間。這種變化是涉及整個發光區域的，因此必須滿足：

$t\geq R/c$

。如果認為

的變化以天為量級，那麼可以估算半徑的上限

$R\sim10^{15}cm$

估算核能產生

$10^{60}erg$

能量所需質量，由

$E=\eta_{N}Mc^2$

可以計算出

$M=10^8M_{S}$

。而質量為

，大小為

的天體的引力能大約是

$E\sim\frac{GM^2}{R}\sim3\times10^{60}erg$

可以看到，對於類星體，引力能在其能量機制中扮演了重要角色。那麼問題來了，類星體引力能的釋放機制是怎樣的？我們之前的估算中隱含了天體系統孤立的假設，而實際情況中，天體與周圍環境的相互作用——天體對外界物質的吸積是不可忽視的。人們逐漸認識到，吸積過程所釋放的引力能是類星體極高能量的重要來源，從而導致了對吸積過程的深入研究，一些吸積盤模型逐漸建立起來。

二、現代吸積盤基本影象

吸積盤主要由氫元素構成，盤中的氣體在不同半徑處以不同的速度圍繞中心天體轉動。由於相鄰氣體層之間黏滯力的存在，內層氣體損失角動量，緩慢向內掉落，角動量逐漸向外轉移，一小部分的吸積物質會因此落入中心天體，而主要部分則從盤的中心區域噴湧而出。

三、標準

$\alpha$

盤模型

1、愛丁頓光度（Eddington luminosity）

愛丁頓光度

$L_{E}$

是吸積盤理論中一個重要的標度，其物理意義是作用在球對稱吸積系統內電離氣體上的輻射壓力與中心天體引力恰好平衡時的光度。通常情況下，吸積的引力勢能不可能完全轉化輻射能，因此，對於一個固定質量的球對稱天體，存在一個光度極限，即愛丁頓光度。

然而對於盤狀結構而言，並非總是如此。定義臨界質量吸積率

$\dot{M_{E}}$

為：

$\dot{M_{E}}\equiv \frac{L_{E}}{c^2}=1.4\times10^{17}\frac{M}{M_{S}}g/s$

，其中

為中心天體質量，

$M_{S}$

為太陽質量。通常認為當吸積盤的吸積率

$\dot{M}<\dot{M_{E}}$

時，盤是幾何薄的；當

$\dot{M}>\dot{M_{E}}$

時，盤是幾何厚的。

2、標準盤的動力學方程

標準盤模型作以下假設：

盤是

幾何薄

的，即盤的半厚度

與盤的半徑

滿足：

$H\ll r$

。

盤是

光學厚

的，這點將在後文解釋。

盤是

穩態

的，即盤的狀態量與時間無關。

相對於中心天體，盤的自引力可忽略。

盤滿足旋轉對稱性。

盤內物質以轉動為主導，即

$\left| v_{r} \right| \ll v_{\varphi}$

。

方向保持

流體靜力學平衡

（當時學術界還未意識到中心區域的噴流現象）

黏滯應力張量的

$r\varphi$

分量

$t_{r\varphi}=-\alpha p$

，

$\alpha$

為一個

上的引數，此即著名的

$\alpha$

假設

，這是一個給標準盤模型

注入靈魂的假設

。

$\alpha$

假設更類似一種唯象的假設，本身的意義還沒有得到很好的闡明，目前人們比較傾向於認為來源是系統中磁場的不穩定性。

我們以流體力學方程為基礎，採用柱座標來推匯出吸積盤的動力學方程：

連續性方程：

$\frac{\partial\rho}{\partial{t}}+\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0$

動量方程：

$\rho\frac{d \vec{v} }{dt}=-\rho\nabla\psi-\nabla p+\rho\vec N$

能量方程：

$\rho T\frac{ds}{dt}=\Phi+\rho\epsilon-\nabla\cdot \vec{F}$

其中，

$\psi$

為引力勢，

$\vec N$

為單位質量的黏滯力，

為比熵，

$\Phi$

為黏滯耗散函式，

$\epsilon$

為單位質量的其它加熱率（比如核能），

$\vec{F}$

表示能流。

考察連續性方程，由穩態假設，方程變為

$\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0$

，對

方向積分，得到吸積率

$\dot{M}=-4\pi rH\rho v_{r}=-Mv_{r}$

對動量方程，

$\frac{d \vec{v} }{dt}=(\frac{\partial }{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}$

，柱座標下展開，分別得到

$r、\varphi、z$

三個方向的方程：（考慮到盤滿足旋轉對稱性，盤在

$\varphi$

方向上不會有引力差與壓強差）

$v_{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial r}+v_{z}\frac{\partial v_{r}}{\partial z}-\frac{v_{\varphi}^{2}}{r}=-\frac{\partial \psi}{\partial r}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}+N_{r}$

$v_{r}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}+v_{z}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial z}+\frac{v_{\varphi}v_{r}}{r}=N_{\varphi}$

$v_{r}\frac{\partial v_{z}}{\partial r}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z}=-\frac{\partial \psi}{\partial z}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+N_{z}$

對

方向的動量方程，由

$\left| v_{r} \right|\ll v_{\varphi}$

，故忽略等式左邊前兩項；黏滯阻力主要存在於

$\varphi$

方向，壓強也被忽略，從而得到角速度

$\Omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}=\Omega_{K}$

，此即

開普勒假設

。

對

$\varphi$

方向的動量方程，

$\varphi$

方向的黏滯力滿足：

$N_{\varphi}=\frac{1}{\rho r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 t_{r\varphi})=\frac{1}{\rho r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \alpha p)$

，代入連續性方程的解消去

$v_{r}$

，方程變為：

$\frac{\dot{M}}{4\pi H}(r\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial r}+v_{\varphi})=\frac{\partial}{\partial r}(r^2\alpha p)$

，沿r方向積分，設

$f=1-\sqrt\frac{r_{in}}{r}$

，

$r_{in}$

為盤內邊緣半徑，有：

$\dot{M}\Omega f=4\pi H\alpha p$

對

方向的動量方程，

方向上被認為是流體靜力學平衡的，故忽略

$v_{z}$

與

$N_{z}$

，有：

$-\frac{ GM}{r^2}\frac{z}{r}=\frac{1}{\rho}\frac{d p}{d z}$

（

$z\ll r$

），用差分代替微分，

$dp\rightarrow p$

，

$dz=\Delta z=z-0= H$

，得到：

$\frac{GM}{r^3}H^2=\frac{p}{\rho}=c_{s}^{2}$

，其中

$c_{s}$

表示聲速。

最後考察能量方程，等式左邊的項表示盤內能量的儲存。標準盤模型認為黏滯過程產生的熱能，以黑體輻射的形式冷卻，盤內並不儲存能量。忽略其它加熱產能，因而有：

$\Phi=\nabla\cdot \vec{F}$

單位體積黏滯產熱定義為

$\Phi=t_{ik}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}}$

，柱座標下只考慮

$r\varphi$

方向的黏滯：

$\Phi=t_{r\varphi}r\frac{d\Omega}{dr}=-\alpha pr\frac{d\Omega}{dr}$

。記單位面積的黏滯產熱為

$Q_{vis}^{+}$

，

$Q_{vis}^{+}=\int_{-H}^{H}\Phi dz=2\Phi H$

，由

$\Omega \propto r^{-3/2}$

，故

$Q_{vis}^{+}=3\alpha p\Omega H$

考察輻射能流。假設盤在

方向是光學厚的，光子透過碰撞與吸收過程轉移到盤的表面。這裡對該假設進行一些解釋：引入光深

$\tau=\int\rho\bar{\kappa} dl$

來衡量光子透過某個區域受到阻礙的程度，其中

$\bar{\kappa}$

是平均不透明度，是不透明度對頻率平均的結果。對於薄盤，當半徑

處

$\tau=\rho\bar{\kappa}H\gg1$

，可認為是光學厚的。

由此基於黑體輻射計算出射能流：

$F=-\frac{16\sigma T^3}{3\bar{\kappa} \rho}\frac{\partial T}{\partial z}=\frac{16\sigma T^4}{3\bar{\kappa} \rho H}$

，

$\sigma$

為Stefan-Boltzmann常數。由於盤有正反兩面，故單位面積總出射能流

$Q_{rad}^{-}=2F=\frac{32\sigma T^4}{3\bar{\kappa} \rho H}$

，從而得到

$3\alpha p\Omega H=Q_{vis}^{+}=Q_{rad}^{-}=\frac{32\sigma T^4}{3\bar{\kappa} \rho H}$

總結一下，我們得到了以下一組方程：

$\dot{M}=-4\pi rHv_{r}\rho$

$\Omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}=\Omega_{K}$

$\dot{M}\Omega f=4\pi H\alpha p$

$\frac{GM}{r^3}H^2=\frac{p}{\rho}$

$3\alpha p\Omega H=\frac{32\sigma T^4}{3\bar{\kappa}\rho H}$

模型的主要引數有：半徑

，吸積率

$\dot M$

，中心天體的質量

以及無量綱引數

$\alpha$

。待求解的量為：半厚度

，徑向速度

$v_{r}$

，密度

$\rho$

，角速度

$\Omega$

，壓強

，溫度

，其中

與

的關係將在後面給出。需要注意的是，由於高次項的存在，直接給出顯式解並不是一件容易的事情。

該模型中不同引數下的光譜

3、標準盤結構

這裡對吸積盤的結構進行一些深入探討，透過壓強

與光深

$\tau$

中的主導項將盤的結構分為內、中、外三區。

盤中總壓強被認為是理想氣體壓強與光子氣壓強的加和：

$p=p_{gas}+p_{rad}=\frac{2k}{m_{H}}\rho T +\frac{4}{3}\delta T^4$

，其中

為Boltzmann常數，

$m_{H}$

為氫原子質量。

盤中光深被解釋為電子散射光深與自由-自由吸收光深的加和：

$\bar{\kappa}=\kappa_{es}+\kappa_{ff}=\kappa_{es}+\kappa_{0}\rho T^{-3.5}$

，分別表示電子的散射與自由-自由吸收，其中

$\kappa_{es}=0.4cm^2/g$

，對於純氫等離子體，

$\kappa_{0}=6.4\times 10^{22}cm^2/g$

。

引入無量綱常量：

$m=\frac{M}{M_{S}}$

，

$\dot{m}=\frac{\dot{M}}{\dot{M}_{E}}$

，取史瓦西半徑

$r_{g}=\frac{2GM}{c^2}$

。

一般情形下，盤的內區密度與溫度較高，

$p\sim p_{rad}=\frac{4}{3}\delta T^4$

，

$\bar{\kappa}\sim\kappa_{es}$

，從而解得：

$H=5.5\times10^4m\dot{m}f$

，

$\rho=9\times10^{-4}\alpha^{-1}m^{-1}\dot{m}^{-2}(\frac{r}{r_{g}})^{3/2}f^{-2}$

，

$T=4.9\times10^7\alpha^{-1/4}m^{-1/4}(\frac{r}{r_{g}})^{-3/8}$

中區密度溫度都不太高，

$p\sim p_{gas}=\frac{2k}{m_{H}}\rho T$

，

$\bar{\kappa}\sim\kappa_{es}$

，有：

$H=2.7\times10^3\alpha^{-1/10}m^{9/10} \dot{m}^{1/5}(\frac{r}{r_{g}})^{21/20}f^{1/5}$

，

$\rho=8\alpha^{-7/10}m^{-7/10} \dot{m}^{2/5}(\frac{r}{r_{g}})^{-33/20}f^{2/5}$

，

$T=2.2\times10^{8}\alpha^{-1/5}m^{-1/5} \dot{m}^{2/5}(\frac{r}{r_{g}})^{-9/10}f^{2/5}$

外區密度與溫度較低，

$p\sim p_{gas}=\frac{2k}{m_{H}}\rho T$

，

$\bar{\kappa}\sim\kappa_{ff}=\kappa_{0}\rho T^{-3.5}$

，得：

$H=1.5\times10^3\alpha^{-1/10}m^{9/10} \dot{m}^{3/20}(\frac{r}{r_{g}})^{9/8}f^{3/20}$

，

$\rho=4.7\times10^1\alpha^{-7/10}m^{-7/10} \dot{m}^{11/20}(\frac{r}{r_{g}})^{-15/8}f^{11/20}$

，

$T=6.9\times10^{7}\alpha^{-1/5}m^{-1/5} \dot{m}^{3/10}(\frac{r}{r_{g}})^{-3/4}f^{3/10}$

吸積盤分割槽示意圖

4、盤內區的長期不穩定性

我們以盤內區的長期不穩定性為例來管窺盤的不穩定性。

假設盤軸向處於流體靜力學平衡，這時採取密度量的垂向積分可以使描述更加方便，於是定義面密度

$\Sigma=\int_{-\infty}^{\infty}\rho dz=2\rho H$

，以及垂向積分的黏滯應力

$T_{r\varphi}=\int_{-\infty}^{\infty}t_{r\varphi}dz=-2\alpha pH$

。盤內區有

$p\sim p_{rad}=\frac{4}{3}\delta T^4$

，

$\bar{\kappa}\sim\kappa_{es}$

，根據盤的動力學方程，可以得出：

$-T_{r\varphi}\propto\frac{1}{\Sigma}$

。

考慮對平衡狀態的吸積盤施加一個小幅度擾動

$T_{r\varphi,1}$

，透過前面的正比關係可以得到：

$-T_{r\varphi,1}=\frac{-T_{r\varphi,0}}{\Sigma_{0}}\Sigma_{1}$

。重新審視連續性方程

$\frac{\partial\rho}{\partial{t}}+\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0$

，這時不能忽略狀態量隨時間的變化。只考慮軸對稱轉動，方程變為：

$2\pi r \frac{\partial\Sigma}{\partial t}=\frac{\partial \dot{M}}{\partial r}$

。用其它的動力學方程消去

$\dot{M}$

，得到：

$\frac{\partial \Sigma}{\partial t}=\frac{\partial}{r\partial r}\{[\frac{d}{dr}(r^2\Omega)]^{-1}\frac{\partial}{\partial r}(-r^2T_{r\varphi})\}$

，從而得到關於一階微擾項的方程：

$\frac{\partial \Sigma_{1}}{\partial t}=r\frac{T_{r\varphi,0}}{\Sigma_{0}}[\frac{d}{dr}(r^2\Omega)]^{-1}\frac{\partial^2\Sigma_{1}}{\partial r^2}=a\frac{\partial^2\Sigma_{1}}{\partial r^2}$

。由於

$T_{r\varphi,0}<0$

以及

$\frac{d}{dr}(r^2\Omega)]^{-1}>0$

，擴散率

為負數，從而產生長期不穩定性。

同上可論證盤中區與外區是長期穩定的。

以上討論的標準盤模型只是一個較為粗略的描述，模型並沒有考慮盤中電磁場的相互作用、盤內區域的噴流，從上文我們也瞭解到盤並不是穩態的，而是有多種不穩定性：長期不穩定性、熱不穩定性、磁不穩定性等等。但是標準盤模型仍是一個劃時代的模型，它系統地給出了吸積盤的方程與解，啟發了後來的諸多模型。

四、slim模型

slim模型研究的吸積盤質量吸積率

$\dot{M}\approx \dot{M_{E}}$

，與幾何薄盤、幾何厚盤均不同。模型認為

$\dot{M}\approx \dot{M_{E}}$

時徑移產熱佔能量耗散的主導方式，因此能量方程與

方向的動量方程需要改寫。

重新寫出能量方程：

$\rho T\frac{ds}{dt}=\Phi$

，根據熱力學第一定律，

$Tds=d\varepsilon+pdV$

，

$\rho T\frac{ds}{dt}=\rho \frac{d\varepsilon}{dt}+\rho p\nabla\cdot\vec{v}$

，在柱座標下展開並進行一系列複雜計算後可以得到：

$\frac{\dot{M}}{2\pi r^2}\frac{p}{\rho}\xi=-\alpha p rH\frac{d\Omega}{dr}$

，

$\xi$

為無量綱常數，這裡不做過多解釋。

比較靠近核心的區域，開普勒假設不再適用，

方向的動量方程變為：

$v_{r}\frac{\partial v_{r}}{\partial r}-\frac{v_{\varphi}^{2}}{r}=-\frac{\partial \psi}{\partial r}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}$

，這裡認為

與

$v_{r}$

均與

的冪次成正比，冪次待定。

這樣就得到了slim模型下的解。slim模型一個很有意思的結論是，低吸積率下，盤的光度與吸積率呈線性關係，但當盤吸積率增大到接近甚至超過臨界值後，光度還維持在臨界光度附近。

實線表示盤總光度與吸積率的關係，虛線含義是黏滯應力產熱的速率與吸積率的聯絡

五、ADAF模型與外流

ADAF模型是由Narayan和Yi在1994-1995年提出的模型，其描述了低吸積率下的吸積盤圖景。在ADAF模型中，整個盤是幾何厚而光學薄的。光學薄意味著輻射出的光子不經過碰撞或吸收就離開盤，從而攜帶光子產生機制的資訊，如同步輻射，韌致輻射，逆康普頓化等過程。黏滯力被認為直接作用在電離出的質子上，由於質子與電子的庫倫耦合作用不充分，導致電子和質子的溫度不一致。在能量上，整個盤由徑移主導。

十分有趣的是，1995年Narayan使用這一模型成功解釋了銀河系中心黑洞吸積盤的光譜，這也是ADAF盤很引人注意的一個原因。

在文章中，Narayan等人討論了盤中的伯努利數