固體物理：2.4 格波能量態密度波矢密度

作者：由文生於發表于體育時間：2022-02-13

“這是一個簡單的晶體，裡面的原子……也太多了吧”

上一節中我們已經可以把一個獨立格波的能量表示為：

$E_i=\left(n\left(k_i\right)+1/2\right)\hbar\omega\left(k_i\right)\\$

$n\left(k_i\right)=\frac{1}{e^\frac{\hbar\omega\left(k_i\right)}{k_BT}-1}\\$

其中，獨立格波總數 = 總自由度數 = 維度 × 原子數 = 維度 × 原胞數 × 一個原胞所含原子數

對於一維單原子鏈，有N個獨立格波，總能量為

$E_t=\sum_{i=1}^{N}{(n\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega\left(k_i\right)}\\$

對於三維單原子鏈，三個維度有三支格波，每支格波含N個獨立格波，總能量為（總共3N個獨立格波）

$E_t=\sum_{j=1}^{3}\sum_{i=1}^{N}{(n_j\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega_j\left(k_i\right)}\\$

對於D維P原子鏈，即有D個維度，N個原胞，每個原胞裡有P個原子，則共有DP支格波，每支格波含N個獨立格波，總能量為（總共DPN個獨立格波）

$\sum_{j=1}^{DP}\sum_{i=1}^{N}{E_j\left(k_i\right)}=\sum_{j=1}^{DP}\sum_{i=1}^{N}{(n_j\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega_j\left(k_i\right)}\\$

我們先任取一支格波，裡面有N個振動模式，

$E_j=\sum_{i=1}^{N}{(n\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega\left(k_i\right)}\\$

N有多大？一般晶體裡包含

${10}^{23}$

數量級的原子…

${10}^{23}$

怎麼疊加，這可不是簡簡單單的等差或等比數列……

物理學家又一次另闢蹊徑：波矢k被限制在第一布里淵區，

$-\frac{\pi}{a}<k\le\frac{\pi}{a}$

，k只能取分立值。這芝麻大的地方還要分成

${10}^{23}$

數量級個分立值，k簡直近似連續分佈，不如把求和變積分吧。

2。4。1態密度

態密度：單位頻率間隔內振動模式的數量

$g\left(\omega\right)=\frac{dn}{d\omega}\\$

則振動模式總數可以表示為（D為維度數，N為原胞數，P為原胞所含原子數），總態密度等於所有支的態密度求和

$\int_{0}^{\omega_m}g\left(\omega\right)d\omega=DNP\\$

$g\left(\omega\right)=\sum_{j}^{DP}{g_j\left(\omega\right)}\\$

所以在一個極小區間

$d\omega$

內的格波能量可以表示為：振動模式數量 × 振動模式能量 =

$g\left(\omega\right)d\omega × (n+1/2)\hbar\omega\\$

則一支格波的能量可以表示為

$E_j=\sum_{i=1}^{N}{(n\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega\left(k_i\right)}=\int_{0}^{\omega_m}{(n+1/2)\hbar\omega g_j\left(\omega\right)d\omega}\\$

至於積分上限

$\omega_m$

是多少先擱在一邊（由之前的色散關係圖都可知頻率存在最大值，不用擔心積分發散）

現在先考慮其中一支，一支N個振動模式

$\int_{0}^{\omega_m}{g_j\left(\omega\right)d\omega}=N\\$

$E_t=\sum_{i=1}^{N}{(n\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega\left(k_i\right)}\\$

積分等於N這個條件可以利用，之前我們己經知道晶體有N個原胞，波矢k取值個數為N，波矢數量 = 波矢密度 × 波矢體積 = N，

等等，波矢密度又是什麼

2。4。2波矢空間密度分佈

波矢密度即k在波矢空間中的密度分佈，波矢k已經被限制在第一布里淵區，所以首先要計算第一布里淵區的體積

。第一布里淵區對應一個原胞，設原胞體積為

，根據公式有

$V_b=\frac{\left(2\pi\right)^3}{V_a}\\$

第一布里淵區內k的取值共有N個，則波矢分佈密度為（V是整個晶體的體積，V = N

$\rho\left(k\right)=\frac{N}{V_b}=\frac{N}{\frac{\left(2\pi\right)^3}{V_a}}=\frac{V}{\left(2\pi\right)^3}\\$

同樣可以推匯出一維晶體：

$\rho\left(k\right)=\frac{L}{2\pi}\\$

二維晶體：

$\rho\left(k\right)=\frac{S}{\left(2\pi\right)^2}\\$

密度乘體積微元，再積分一下，完美

$\int\rho\left(k\right)dV=\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}}{dk_x}\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}}{dk_y}\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}}\rho\left(k\right)dk_z=N\\$

但，上式其實是錯誤的

波矢k被限制第一布里淵區，是指無論k沿哪個方向，大小隻能從

$-\frac{\pi}{a}$

變化到

$\frac{\pi}{a}$

，考慮全部方向後實際的積分割槽域是個球。

對球積分，我們用經典的球殼分層積分

因為此時k只考慮大小而不用考慮方向，從0積分到

$\frac{\pi}{a}$

，（態密度

$g_j\left(\omega\right)$

對頻率

$\omega$

也是從零積分到

$\omega_m$

，只考慮大小時一個

$\omega$

才對應一個k，否則根據色散關係一個

$\omega$

對應±k）

$\int\rho\left(k\right)dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\rho\left(k\right)4\pi k^2dk=N\\$

同樣可以推匯出一維晶體：

$\int\rho\left(k\right)dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\rho\left(k\right)2dk=N\\$

二維晶體：

$\int\rho\left(k\right)dV=\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\rho\left(k\right)2\pi kdk=N\\$

2。4。3格波總能量

接下來一路跟著推導就好了

$g_j\left(\omega\right)d\omega=dn=\rho\left(k\right)4\pi k^2dk\\$

$g_j\left(\omega\right)=\rho\left(k\right)4\pi k^2\frac{dk}{d\omega}=\frac{V}{\left(2\pi\right)^3}4\pi k^2\frac{dk}{d\omega}=\frac{2Vk^2}{\left(2\pi\right)^2}\frac{dk}{d\omega}\\$

$\frac{dk}{d\omega}$

，不就是色散關係稍作變換嗎？（色散關係多重要）

二維晶體：

$g_j\left(\omega\right)=\rho\left(k\right)2\pi k\frac{dk}{d\omega}=\frac{S}{\left(2\pi\right)^2}2\pi k\frac{dk}{d\omega}=\frac{Sk}{2\pi}\frac{dk}{d\omega}\\$

一維晶體：

$g_j\left(\omega\right)=\rho\left(k\right)2dk\frac{dk}{d\omega}=\frac{L}{2\pi}2\frac{dk}{d\omega}=\frac{L}{\pi}\frac{dk}{d\omega}\\$

對於一維單原子鏈：

$\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\left|\sin{\frac{ka}{2}}\right|\\$

當然只看大小的話，k等於0到

$\frac{\pi}{a}$

$\omega=2\sqrt{\frac{\beta}{m}}\sin{\frac{ka}{2}}\\$

$\frac{dk}{d\omega}=\frac{1}{a\frac{\omega_m}{2}cos(\frac{ka}{2})}=\frac{1}{a\frac{\omega_m}{2}\sqrt{1-\sin^2{\left(\frac{ka}{2}\right)}}}=\frac{2}{a\sqrt{\omega_m^2-\omega^2}}\\$

又因為

$\rho\left(k\right)=\frac{L}{2\pi}=\frac{Na}{2\pi}\\$

則

$g_j\left(\omega\right)=\frac{L}{\pi}\frac{dk}{d\omega}=\frac{Na}{\pi}\frac{2}{a\sqrt{\omega_m^2-\omega^2}}=\frac{2N}{\pi}\left(\omega_m^2-\omega^2\right)^{-1/2}\\$

至此，一支格波的態密度

$g_j\left(\omega\right)$

可以表示出來，而一支格波的總能量就可以用

$g_j\left(\omega\right)$

表示

$E_j=\sum_{i=1}^{N}{(n\left(k_i\right)+1/2)\hbar\omega\left(k_i\right)}=\int_{0}^{\omega_m}{(n+1/2)\hbar\omega g_j\left(\omega\right)d\omega}\\$

也可以拆成兩部分

$E_0=\sum_{i=1}^{N}{\frac{1}{2}\hbar\omega\left(k_i\right)}=\int_{0}^{\omega_m}{\frac{1}{2}\hbar\omega g\left(\omega\right)d\omega}\\$

$E\left(T\right)=\sum_{i=1}^{N}\frac{\hbar\omega\left(k_i\right)}{e^{\hbar\omega\left(k_i\right)/k_BT}-1}=\int_{0}^{\omega_m}{\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}g\left(\omega\right)d\omega}\\$

則

$E_j=\int_{0}^{\omega_m}{\frac{1}{2}\hbar\omega g\left(\omega\right)d\omega}+\int_{0}^{\omega_m}{\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}g\left(\omega\right)d\omega}\\$