彈性常數和楊氏模量有什麼關係，可以換算嗎？

本期推文所講述內容，在一本叫做

PHYSICAL PROPERTIES OF CRYSTALS

的書中被詳細說明，該書可以說是做

晶體物理性質計算的聖經

。該書在1990年由西安交大的孟中巖教授組織翻譯過中文版，並於1994年出版，名為《晶體的物理性質》，很可惜該書沒有再版，很多高校也沒有藏書，網上也難尋中文版的蹤影。我們特意將該書的中文版和英文版作為本期的附件內容，希望能夠對做計算的你有所幫助

彈性常數

彈性常數描述了晶體對外加應變的響應的剛度。在材料的線性變形範圍內（應變較小的情況下），體系的應力與應變滿足胡克定律。也就是說，對於足夠的小的變形，應力與應變成正比，即

應力分量(S)是應變分量(E)的線性函式

，三維材料的彈性剛度常數矩陣是6×6的：

公式中Cij就是我們通常所說的彈性常數。因為剛度矩陣是對稱矩陣，因此，彈性常數的獨立張量元數目至多隻有21個。對不同的晶系的晶體，因為對稱性的關係，其獨立的彈性常數是確定的。因此，

晶系的對稱性越高，獨立的張量元數目越少

。

注意：彈性常數的數量只和晶系有關，和晶系中具體的對稱型別無關。

VASP5.2以上版本計算彈性常數：

在INCAR中新增IBRION=6，NFREE=4，ISIF=3。計算結束後會產生剛度矩陣，即得到了彈性常數（Cij）。FCC結構的剛度矩陣如下圖所示：

FCC結構只有3個獨立矩陣，得到彈性常數C11，C12，C44。

下面具體展示了不同晶系的剛度矩陣：

01

立方晶系——只有3個獨立矩陣元（C11，C12，C44）

02

六角晶系——有5個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C33，C44）

03

三角晶系

a) 32，3m，-32/m——有6個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C14，C33，C44）

b) 3，-3,——有8個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C14，C15，C33，C44，C45）

04

四方晶系

a) 422，4mm，-42m，4/mmm——有6個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C33，C44，C66）

b) 4，-4，4/m——有7個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C16，C33，C44，C66）

05

正交晶系——有9個獨立矩陣元（C11，C12，C13，C22，C23，C33，C44，C55，C66）

06

單斜晶系——有13個獨立矩陣元

07

三斜晶系——有21個獨立矩陣元

彈性模量和泊松比

以上VASP計算得到彈性常數，根據Voigt-Reuss-Hill ［1-3］近似模型，可以得到剪下模量（G）和體模量（B）。以立方晶系為例：

Voigt average：

Reuss average：

Hill average：

由G和B，可以得到楊氏模量(E)和泊松比(v)：

參考文獻：

［1］ D。 W。 Voigt， Lehrbuch der Kristallphysik， Taubner， Leipzig， 1928。

［2］ A。 Reuss， Z。 Angew， Math。 Mech 9 （1929） 55。

［3］ R。 Hill， Proc。 Phys。 Soc。 London A 65 （1952） 349。

資源獲取關注公眾號：科學指南針一模擬計算聯盟

第一性原理||計算不同晶系的彈性常數和彈性模量（附晶體物理性質書籍）